गुणनफल $x y z$ का वह न्यूनतम मूल्य जिसके लिए सारणिक$\left|\begin{array}{lll} x & 1 & 1 \\ 1 & y & 1 \\ 1 & 1 & z \end{array}\right|$ ॠणेतर है

माना रैखिक समीकरण $x +2 y + z =2$, $\alpha x +3 y – z =\alpha,-\alpha x + y +2 z =-\alpha$ असंगत है तो $\alpha$ बराबर होगा।

यदि $\left|\begin{array}{ccc} a – b – c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b – c – a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c – a – b \end{array}\right|=( a + b + c )$ $( x + a + b + c )^{2}, x \neq 0$ तथा $a + b + c \neq 0$ हो, तो $x$ बराबर है 

यदि $\alpha ,\beta \ne 0$ तथा $f\left( n \right) = {\alpha ^n} + {\beta ^n}$ तथा

$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{1 + f\left( 1 \right)}&{1 + f\left( 2 \right)}\\{1 + f\left( 1 \right)}&{1 + f\left( 2 \right)}&{1 + f\left( 3 \right)}\\{1 + f\left( 2 \right)}&{1 + f\left( 3 \right)}&{1 + f\left( 4 \right)}\end{array}} \right|\;$

$= K{\left( {1 – \alpha } \right)^2}$ ${\left( {1 – \beta } \right)^2}{\left( {\alpha – \beta } \right)^2}$ है, तो $K$ बराबर है

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x – 1}&3&0\\2&{x – 3}&4\\3&5&6\end{array}\,} \right| = 0$, तो $x =$