माना [ x ] महत्तम पूर्णांक ≤ x है, जहों x ∈ R ?

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1.Relation and Function

hard

माना $[ x ]$ महत्तम पूर्णांक $\leq x$ है, जहों $x \in R$ है। यदि वास्तविक मान फलन $f(x)=\sqrt{\frac{[x] \mid-2}{[x] \mid-3}}$ का प्रांत $(-\infty, a) \cup[b, c) \cup[4, \infty), a < b < c$, है, तो $a+b+c$ का मान है

A

$-3$

B

$1$

C

$-2$

D

$8$

(JEE MAIN-2021)

Solution

For domain,

$\frac{|[x]|-2}{|[x]|-3} \geq 0$

Case $I:$ When $|[x]|-2 \geq 0$

and $|[x]|-3\,>\,0$

$\therefore x \in(-\infty,-3) \cup[4, \infty] \ldots . .(1)$

Case $II:$ When $|[x]|-2 \leq 0$

and $|[x]|-3\,<\,0$

$\therefore \mathrm{x} \in[-2,3) \quad \ldots(2)$

So, from $(1)$ and $(2)$

We get

Domain of function

$=(-\infty,-3) \cup[-2,3) \cup[4, \infty)$

$\therefore(a+b+c)=-3+(-2)+3=-2(a\,<\,b\,<\,c)$

Standard 12

Mathematics

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मान लीजिए कि $P(x)$ बास्तविक गुणांकों से बना एक बहुपद $(polynomial)$ है, जो सभी $x \in[0, \pi / 2]$ के लिए $P\left(\sin ^2 x\right)=$ $P\left(\cos ^2 x\right)$ को संतुष्ट करता है. निम्न वाक्यों को पढ़ें.

$I$. $P(x)$ एक सम-फलन $(even\,function)$ है.

$II$. $P(x)$ को $(2 x-1)^2$ के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है.

$III$. $P(x)$ सम-घात का यहुपद है.

इनमें:

normal

(KVPY-2016)

माना $A =\left\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{7}\right\}$ तथा $B =\left\{y_{1}, y_{2}, y_{3}\right\}$ ऐसे दो समुच्चय हैं जिनमें क्रमशः सात तथा तीन विभित्र अवयव हैं ; तो ऐसे फलनों $f: A \rightarrow B$ की कुल संख्या, जो कि आच्छादक हैं, यदि $A$ में ऐसे ठीक तीन $x$ अवयव हैं जिनके लिए $f(x)=y_{2}$ है

hard

(JEE MAIN-2015)

यदि $f(x) = \log \frac{{1 + x}}{{1 – x}}$, तब $f(x)$ है

easy

एक फलन $\mathrm{f}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, के लिए $\mathrm{f}(1)+2 \mathrm{f}(2)+3 \mathrm{f}(3)+\ldots+\mathrm{xf}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\mathrm{x}+1) \mathrm{f}(\mathrm{x}) ;$ $\mathrm{x} \geq 2$ तथा $\mathrm{f}(1)=1$ है तो $\frac{1}{\mathrm{f}(2022)}+\frac{1}{\mathrm{f}(2028)}$ बराबर है

hard

(JEE MAIN-2023)

माना $f:(1,3) \rightarrow R$ एक फलन है, जो $f( x )=\frac{ X [ X ]}{1+ x ^{2}}$, द्वारा परिभाषित है जहाँ $[ x ]$ महत्तम पूर्णाक $\leq x$ को दर्शाता है। तो $f$ का परिसर है

hard

(JEE MAIN-2020)