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यदि $f$ एक अंतराल $(-5, 5)$ में परिभाषित सम फलन है, तो समीकरण $f(x) = f\left( {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right)$ का संतुष्ट करने वाले $x$ के चार वास्तविक मान होंगे
$\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2},\;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2},\;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2},\;\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2}$
$\frac{{ - 5 + \sqrt 3 }}{2},\;\frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2},\;\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2},\;\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$
$\frac{{3 - \sqrt 5 }}{2},\;\frac{{3 + \sqrt 5 }}{2},\;\frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2},\;\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2}$
$ - 3 - \sqrt 5 ,\; - 3 + \sqrt 5 ,\;3 - \sqrt 5 ,\;3 + \sqrt 5 $
Solution
(a) चूँकि $f(x)$ एक सम फलन है, अत: $f(x)$ $f( – x)$
अत: समीकरण $f(x) = f\,\left( {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right)$ के…..(i)
अलावा $f( – x) = f\left( {\frac{{ – x + 1}}{{ – x + 2}}} \right)$ भी सन्तुष्ट होगा।…..(ii)
अतएव $x = \frac{{ – x + 1}}{{ – x + 2}}$…..(iii)
तथा $ – x = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}$…..(iv)
को हल करने पर प्राप्त होने वाले $x$ के मान $(i)$ एवं $(ii)$ को सन्तुष्ट करेंगे।
$(iii)$ व $(iv)$ से, $x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}$ एवं $\frac{{ – 3 \pm \sqrt 5 }}{2}$
(चूँकि $x$ के ये चारों मान अन्तराल $(-5, 5)$ में स्थित है, अत: यही अभीष्ट मान हैं।)
