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फलन $f(x)=x+\frac{1}{8} \sin (2 \pi x), 0 \leq x \leq 1$ का आरेख नीचे दर्शाया गया है. यदि $f_1(x)=f(x)$ और $n \geq$ 1 के लिए $f_{n+1}(x)=f\left(f_n(x)\right)$.
तब निम्न कथनों:
$I$ अनंत $x \in[0,1]$ संभव है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=0$.
$II$. अनंत $x \in[0,1]$ संभब है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=\frac{1}{2}$.
$III$ अनंत $x \in[0,1]$ संभव है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=1$.
$IV$. अन्त $x \in[0,1]$ सभव है यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)$ का अस्तित्व नहीं है.
में से कौन से कथन सत्य है
केवल $I$ एव $III$
केवल $II$
केवल $I, II, III$
$I, II, III$ एवं $IV$
Solution
(b)
$f_1(x)=x+\frac{1}{8} \sin (2 \pi x)$
$f_2(x)=x+\frac{1}{8} \sin 2 \pi x+\frac{1}{8} \sin \left(2 \pi\left(x+\frac{1}{8} \sin 2 \pi x\right)\right)$
Similarly, $f _3( x )= x +\frac{1}{8}\left(\sin (2 \pi x)+\sin \left( f _1( x )\right)+\sin \left( f _2( x )\right)\right)$
$\therefore f_n(x)=x+\frac{1}{8}\left(\sin 2 \pi x+\sin \left(f_1(x)\right)+\ldots \cdots+\sin \left(f_{n-1}(x)\right)\right)$
$f_n(x)=0$ at $x=0$ and $f_n(x)=1$ at $x=1$
Therefore $I$ and $III$ are not true
from the figure, $f _{ n }( x )=\frac{1}{2}$ for many value of $x \in[0,1]$
statement $II$ is true
for every $x , \quad 0 \leq f _1( x ) \leq 1$
therefore, for every value of $x, \quad 0 \leq f_n(x) \leq 1$
$\lim _{n \rightarrow 0} f_n(x)$ always exists for $x \in[0,1]$
$IV$ is also not true.
