- Home
- Standard 11
- Mathematics
ધારો કે $PQ$ એ પરવલય $y^{2}=4 x$ ની એક એવી નાભિજીવા છે કે જે બિંદુ $(3,0)$ આગળ $\frac{\pi}{2}$ નો ખૂણો આંતરે છે.ધારો કે રેખાખંડ $PQ$ એ ઉપવલય $E : \frac{x^{2}}{ a ^{2}}+\frac{y^{2}}{ b ^{2}}=1, a ^{2}> b ^{2}$ ની પણ નાભિજીવા છે. ને $e$ એ ઉપવલય $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો $\frac{1}{e^{2}}$ નું મૂલ્ય $\dots\dots$છે.
$1+\sqrt{2}$
$3+2 \sqrt{2}$
$1+2 \sqrt{3}$
$4+5 \sqrt{3}$
Solution
$PQ$ is focal chord
$m _{P R} \cdot m_{P Q}=-1$
$\frac{2 t }{ t ^{2}-3} \times \frac{-2 / t }{\frac{1}{ t ^{2}}-3}=-1$
$\left( t ^{2}-1\right)^{2}=0$
$\Rightarrow t =1$
$\Rightarrow P$ and $Q$ must be end point of latus rectum:
$\quad P (1,2)$ and $Q (1,-2)$
$\therefore \frac{2 b ^{2}}{ a }=4$ and $ae =1$
$\because$ We know that $b ^{2}= a ^{2}\left(1- e ^{2}\right)$
$\therefore a =1+\sqrt{2}$
$\because e ^{2}=1-\frac{ b ^{2}}{ a ^{2}}$
$\therefore e ^{2}=3-2 \sqrt{2}$
$\frac{1}{ e ^{2}}=3+2 \sqrt{2}$
