मान लीजिए कि $P(x)$ बास्तविक गुणांकों से बना एक बहुपद $(polynomial)$ है, जो सभी $x \in[0, \pi / 2]$ के लिए $P\left(\sin ^2 x\right)=$ $P\left(\cos ^2 x\right)$ को संतुष्ट करता है. निम्न वाक्यों को पढ़ें.

$I$. $P(x)$ एक सम-फलन $(even\,function)$ है.

$II$. $P(x)$ को $(2 x-1)^2$ के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है.

$III$. $P(x)$ सम-घात का यहुपद है.

इनमें:

यदि महत्तम पूर्णांक फलन में, प्रान्त वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है ता परिसर समुच्चय होगा

सभी वास्तविक $x \neq 3$ के लिए फलन $f(x)=\frac{16 x^2-96 x+153}{x-3}$ को परिभाषित करें । $f(x)$ का सबसे छोटा धनात्मक मान है ?

दो सम्बन्ध $R_{1}$ तथा $R_{2}$ नीचे दिए गए हैं:

$R _{1}=\left\{( a , b ) \in R ^{2}: a ^{2}+ b ^{2} \in Q \right\}$  तथा $R _{2}=\left\{( a , b ) \in R ^{2}: a ^{2}+ b ^{2} \notin Q \right\}$ जहाँ सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, तो:

यदि $f(x) = (1 + {b^2}){x^2} + 2bx + 1$ तथा $m(b)$ दिये हुए $b$ के लिए, $f(x)$ का न्यूनतम मान है, तब $m(b)$ का परिसर (रेंज) है

यदि फलन $f( x )=\frac{\cos ^{-1} \sqrt{ x ^{2}- x +1}}{\sqrt{\sin ^{-1}\left(\frac{2 x -1}{2}\right)}}$ का प्रान्त, अन्तराल $(\alpha, \beta]$ है, तो $\alpha+\beta$ बराबर है -