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मान लें $f(x)$ एक चर बहुपद इस प्रकार है कि $f\left(\frac{1}{2}\right)=100$ तथा $f(x) \leq 100$ प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है?
$f(x)$ में उच्चतम कोटि के पद का गुणांक ॠणात्मक होगा
$f(x)$ के कम से कम दो शून्यक वास्तविक हैं
यदि $x \neq 1 / 2$ है तब $f(x) < 100$
$f(x)$ का कम से कम एक गुणांक $50$ से अधिक होगा
Solution
(c)
We have, $f\left(\frac{1}{2}\right)=100$
$f(x) \leq 100, \forall x \in R$
$\therefore \quad f(x)=a\left(x-\frac{1}{2}\right)$
$\left[a_0 x^{n-1}+a_1 x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}\right]+100$
If $f(x) \leq 100, \forall x \in R$
$\therefore a < 0$ and $f(x)$ must be even degree polynomial.
Since, there may be more value of $x$ at which $f(x)$ attains maximum.
$\therefore$ If $x \neq \frac{1}{2}$, then $f(x) < 100$ may be false.
