माना $(1+\mathrm{x})^{99}$ के प्रसार में $\mathrm{x}$ की विषम घातो के गुणांको का योग $\mathrm{K}$ है। माना $\left(2+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{200}$ के प्रसार में मध्य पद $\mathrm{a}$ है। यदि $\frac{{ }^{200} \mathrm{C}_{99} \mathrm{~K}}{\mathrm{a}}=\frac{2^{\ell} \mathrm{m}}{\mathrm{n}}$, है। जहाँ $\mathrm{m}$ तथा $\mathrm{n}$ विषम संख्याएँ हैं तो क्रमित युग्म $(\ell, \mathrm{n})$ बराबर है।

यदि ${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + …. + {C_n}{x^n}$, तब ${C_0}{C_2} + {C_1}{C_3} + {C_2}{C_4} + {C_{n – 2}}{C_n}$ का मान होगा

${(1 + x – 3{x^2})^{2163}}$ के विस्तार में गुणांकों का योग होगा

यदि $^n{C_r}$ के लिए ${C_r}$ को प्रयुक्त किया जाता हो, तो श्रेणी $\frac{{2(n/2)!(n/2)!}}{{n!}}[C_0^2 – 2C_1^2 + 3C_2^2 – ….. + {( – 1)^n}(n + 1)C_n^2]$,

जहाँ  $n$ सम धनात्मक पूर्णांक है, का योग होगा

माना $\left(2 x ^{2}+3 x +4\right)^{10}=\sum_{ r =0}^{20} a _{ r } x ^{ r }$ है। तब $\frac{ a _{7}}{ a _{13}}$ का मान होगा