माना $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^3((2 n) !)+(2 n-1)(n !)}{(n !)((2 n) !)}=a e+\frac{b}{e}+c\ $है, जहाँ $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{Z}$ तथा $\mathrm{e}=\sum_{\mathrm{n}=0}^{\infty} \frac{1}{\mathrm{n} !}$ है तो $\mathrm{a}^2-\mathrm{b}+\mathrm{c}$ बराबर है

यदि $3^x=4^{x-1}$, तब $x=$

$(A)$ $\frac{2 \log _3 2}{2 \log _3 2-1}$ $(B)$ $\frac{2}{2-\log _2 3}$ $(C)$ $\frac{1}{1-\log _4 3}$ $(D)$ $\frac{2 \log _2 3}{2 \log _2 3-1}$

समीकरण $x ^{\left(16\left(\log _5 x \right)^3-68 \log _5 x \right)}=5^{-16}$

को संतुष्ट करने वाले $x$ के सभी धनात्मक वास्तविक मानों (positive real values) का गुणनफल (product)

. . . . . है।

${\log _2}(x + 5) = 6 - x$ के हलों की संख्या है

माना तीन भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a, b, c$ के लिए $(2 a)^{\log _e a}=(b c)^{\log _e b}$ तथा $b^{\log _e 2}=a^{\log _e c}$ हैं। तो $6 \mathrm{a}+5 \mathrm{bc}$ बराबर है____________.

संख्या $15^2 \times 5^{18}$ को यदि आधार $(base)$ $10$ में लिखा जाए, तब इसके अंकों का योग $S$ है। तब