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7.Binomial Theorem
hard
माना $\alpha>0$ न्यूनतम संख्या है, जिसके लिए $\left(\mathrm{x}^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{\mathrm{x}^3}\right)^{30}$ के प्रसार का एक पद $\beta \mathrm{x}^{-\alpha}, \beta \in \mathbb{N}$ है तो $\alpha$ बराबर है
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
$8$
(JEE MAIN-2023)
Solution
$T _{ r +1}={ }^{30} C _{ r }\left( x ^{2 / 3}\right)^{30- r }\left(\frac{2}{ x ^3}\right)^{ r }$
$={ }^{30} C _{ r } \cdot 2^{ r } \cdot x ^{\frac{60-11 r }{3}}$
$\frac{60-11 r }{3} < 0 \Rightarrow 11 r > 60 \Rightarrow r >\frac{60}{11} \Rightarrow r =6$$T _7={ }^{30} C _6 \cdot 2^6 x ^{-2}$
We have also observed $\beta={ }^{30} C _6(2)^6$ is a natural number.
$\therefore \alpha=2$
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