माना $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathrm{Z}$ हैं तथा माना एक समांतर चतुर्भज $\mathrm{ABCD}$ के शीर्ष $\mathrm{A}(\alpha, \beta), \mathrm{B}(1,0), \mathrm{C}(\gamma, \delta)$ तथा $\mathrm{D}(1,2)$ हैं। यदि $\mathrm{AB}=\sqrt{10}$ है तथा बिन्दु $\mathrm{A}$ और $\mathrm{C}$, रेखा $3 \mathrm{y}=2 \mathrm{x}+1$ पर है, तो $2(\alpha+\beta+\gamma+\delta)$ बराबर है।

$\mathrm{X}$ - अक्ष, $\mathrm{Y}$ - अक्ष तथा रेखा $3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}=60$ एक त्रिभुज बनाते है। तो ऐसे बिन्दुओं $\mathrm{P}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ जहाँ $\mathrm{a}$ पूर्णांक है तथा $b, a$ का एक गुणज है, जो त्रिभुज के अंदर हैं, की संख्या है____________.

रेखा $2x + 3y = 12$, $x$-अक्ष को बिन्दु $A$ तथा $y$-अक्ष को बिन्दु $B$ पर मिलती है। बिन्दु $(5, 5)$ से जाने वाली रेखा $AB$ पर लम्ब है एवं यह रेखा $x$-अक्ष, $y$-अक्ष तथा दी गई रेखा को क्रमश: $C, \,D$ व $E$ पर मिलती है। यदि $O$ मूल बिन्दु हो, तो $OCEB$ का क्षेत्रफल है

दर्शाइए कि रेखाओं

$y=m_{1} x+c_{1}, y=m_{2} x+c_{2}$ और $x=0$ से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}}{2\left|m_{1}-m_{2}\right|}$ है।

त्रिभुज $A B C$ की भुजा $A B$ तथा $A C$ पर बिंदु $X, Y$ क्रमश: इस प्रकार स्थापित हैं कि रेखाखंड $X Y$ और $B C$ समांतर हैं । निम्नलिखित में से कौन से कथन हमेशा उचित हैं? (यहाँ त्रिभुज $P Q R$ का क्षेत्रफल $[P Q R]$ से निर्देशित किया गया है)

$(I)$ $[B C X]=[B C Y]$

$(II)$ $[A C X] \cdot[A B Y]=[A X Y] \cdot[A B C]$

उस समान्तर चतुभुज का क्षेत्रफल, जिसकी भुजाएँ $x\cos \alpha  + y\sin \alpha  = p$, $x\cos \alpha  + y\sin \alpha  = q,\,\,$ $x\cos \beta  + y\sin \beta  = r$ व $x\cos \beta  + y\sin \beta  = s$ हैं, होगा