ધારો કે α અને β એ સમીકરણ p x^2+q x-r=0 નાં બીજ છે,

English

Gujarati

Hindi

8. Sequences and Series

medium

ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $p x^2+q x-r=0$ નાં બીજ છે, જ્યાં $p \neq 0$.જે $p, q$ અને $r$ એ એક અચળ ન હોય તેવી ગુણોત્તર શ્રેણી ($G.P.$) ના ક્રમિક પદો હોય અને $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4}$ હોય, તો $(\alpha-\beta)^2$ નું મૂલ્ય .............. છે.

A

$\frac{80}{9}$

B

$9$

C

$\frac{20}{3}$

D

$8$

(JEE MAIN-2024)

Solution

$ p x^2+q x-r=0 < \beta $

$ p=A, q=A R, r=A R^2$

$ A x^2+A R x-A R^2=0$

$ x^2+R x-R^2=0 < \beta $

$ \because \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4} $

$ \therefore \frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{-R}{-R^2}=\frac{3}{4} \Rightarrow R=\frac{4}{3} $

$ (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4 \alpha \beta=R^2-4\left(-R^2\right)=5\left(\frac{16}{9}\right) $

$ =80 / 9$

Standard 11

Mathematics

Share

Similar Questions

જો $G_1 $ અને $G_2$ એ અનુક્રમે $ n_1 $ અને $n_2 $ કદની બે શ્રેણીઓના સમગુણોત્તર મધ્યકો હોય, અને $G$ એ તેમની સંયુક્ત શ્રેણીનો સમગુણોત્તર મધ્યક હોય તો $log G$ કોના બરાબર થાય છે ?

hard

એક માણસને $2$ માતા-પિતા, $4$ દાદા-દાદી, $8$ વડદાદા-વડદાદી વગેરે છે તો તેની $10$ મી પેઢીએ રહેલ પૂર્વજોની સંખ્યા શોધો.

easy

$\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^{2}-3 x+p=0$ ના બીજો હોય તથા $\gamma$ અને $\delta$ એ સમીકરણ $x^{2}-6 x+q=0$ ના બીજો છે. જો $\alpha$ $\beta, \gamma, \delta$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય તો $(2 q+p):(2 q-p)$ મેળવો

hard

(JEE MAIN-2020)

સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ ચાર પદોનો સરવાળો $\frac{65}{12}$ અને તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{65}{18}$ છે. જે સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ ત્રણ પદનો ગુણાકાર $1$ અને ત્રીજુ પદ $\alpha$ હોય, તો $2 \alpha \,=…….$

hard

(JEE MAIN-2021)

$n$ ધન પદો $x_1, x_2, ……. x _n $ નો સમગુણોત્તર મધ્યક = …….

normal