माना समीकरण p x^2+q x-r=0, p ≠ 0 के मूल mathrm{p}, mathrm{q} तथ?

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8. Sequences and Series

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माना समीकरण $p x^2+q x-r=0, p \neq 0$ के मूल $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ तथा $\mathrm{r}$ एक परिवर्तनीय (non-constant) $G.P.$ के क्रमागत पद हैं तथा $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4}$ है, तो $(\alpha-\beta)^2$ का मान है :

A

$\frac{80}{9}$

B

$9$

C

$\frac{20}{3}$

D

$8$

(JEE MAIN-2024)

Solution

$ p x^2+q x-r=0 < \beta $

$ p=A, q=A R, r=A R^2$

$ A x^2+A R x-A R^2=0$

$ x^2+R x-R^2=0 < \beta $

$ \because \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{3}{4} $

$ \therefore \frac{\alpha+\beta}{\alpha \beta}=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{-R}{-R^2}=\frac{3}{4} \Rightarrow R=\frac{4}{3} $

$ (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4 \alpha \beta=R^2-4\left(-R^2\right)=5\left(\frac{16}{9}\right) $

$ =80 / 9$

Standard 11

Mathematics

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