ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પરનું એક બિંદુ $P$ છે. ધારો કે બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અને $y$-અક્ષને સમાંતર રેખા, વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને બિંદુ $\mathrm{Q}$ માં એવી રીતે મળે છે કે જેથી $\mathrm{P}$ અને $\mathrm{Q}, x$-અક્ષની એકન બાજુએ આવે છે. તો $\mathrm{P}$ ઉપવલય પર ગતિ કરે ત્યારે $\mathrm{PQ}$ પરના, $\mathrm{PR}: \mathrm{RQ}=4: 3$ થાય તેવા બિંદુ $\mathrm{R}$ ના બિંદુપથની ઉત્કેન્દ્રતા........................ છે . 

બિંદુ $P\ (3, 4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{9}\,\, + \;\,\frac{{{y^2}}}{4}\,\, = \,\,1$પર દોરેલા સ્પર્શકો ઉપવલયને બિંદુઓ $A$ અને $B$ આગળ સ્પર્શ છે.$A$ અને $B$ ના યામ મેળવો.

બિંદુ $(-3,-5)$ અને ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ પરના બિંદુને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ મેળવો.

જો $OB$ એ ઉપવલયની અર્ધ ગૌણ અક્ષ, $F_1$ અને $F_2$ એ નાભીઓ અને $F_1B$ અને $F_2B$ વચ્ચેનો ખૂણો કાટકોણ હોય તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્ર્તાનો વર્ગ કેટલો થાય ?

જો $P_1$ અને $P_2$ એ ઉપવલય $\frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} = 1$ ના બે ભિન્ન બિંદુઓ છે જ્યાં તે બિંદુઓ આગળનો સ્પર્શક બિંદુ $(0, 1)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતી જીવાને સમાંતર હોય તો બિંદુ $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનું અંતર ......... થાય 

આપેલ ઉપવલય માટે નાભિના યામ, શિરોબિંદુઓ તથા પ્રધાન અક્ષ તથા ગૌણ અક્ષની લંબાઈ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધોઃ

$4 x ^{2}+9 y ^{2}=36$