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माना कि $H: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, जहाँ $a>b>0, x y$ - समतल (plane) में एक ऐसा अतिपरवलय (hyperbola) है जिसका संयुग्मी अक्ष (conjugate axis) $L M$ उसके एक शीर्ष (vertex) $N$ पर $60^{\circ}$ का कोण (angle) अंतरित (subtend) करता है। माना कि त्रिभुज (triangle) $L M N$ का क्षेत्रफल (area) $4 \sqrt{3}$ है।
| सूची - $I$ | सूची - $II$ |
| $P$ $H$ के संयुग्मी अक्ष की लम्बाई है | $1$ $8$ |
| $Q$ $H$ की उत्केन्द्रता (eccentricity) है | $2$ ${\frac{4}{\sqrt{3}}}$ |
| $R$ $H$ की नाभियों (foci) के बीच की दूरी है | $3$ ${\frac{2}{\sqrt{3}}}$ |
| $S$ $H$ के नाभिलम्ब जीवा (latus rectum) की लम्बाई है | $4$ $4$ |
दिए हुए विकल्पों मे से सही विकल्प है:
$P \rightarrow 4 ; Q \rightarrow 2 ; R \rightarrow 1 ; S \rightarrow 3$
$P \rightarrow 4 ; Q \rightarrow 3 ; R \rightarrow 1 ; S \rightarrow 2$
$P \rightarrow 4 ; Q \rightarrow 1 ; R \rightarrow 3 ; S \rightarrow 2$
$P \rightarrow 3 ; Q \rightarrow 4 ; R \rightarrow 2 ; S \rightarrow 1$
Solution
$\triangle LMN =4 \sqrt{3}$
$\frac{1}{2} 2 ab =4 \sqrt{3}$
$ab =4 \sqrt{3}$
$\text { a. }\left(\frac{ a }{\sqrt{3}}\right)=4 \sqrt{3}$
$a ^2=12 \Rightarrow a =2 \sqrt{3}$
$\frac{ b }{ a }=\tan 30^{\circ}$
$b =\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}=20$
Length of conjugate axis $2 b =4$.
$e =\sqrt{1+\frac{4}{12}}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
$SS ^{\prime}=2 ae =2 \times 2 \sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}}=8$
$\text { L.R. }=\frac{2 b ^2}{ a }=\frac{2 \times 4}{2 \sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$
