माना C ₁ तथा C ₂ दो पक्षपाती सिक्के इस प्?

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14.Probability

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माना $C _1$ तथा $C _2$ दो पक्षपाती सिक्के इस प्रकार हैं कि इनकी एकल उबल में 'चित' आने की प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{2}{3}$ तथा $\frac{1}{3}$ है। माना $\alpha$ कुल चितों की संख्या है जब $C _1$ स्वतंत्र रूप से दो बार उछाला जाता है। तथा $\beta$ कुल चितों की संख्या है जब $C _2$ को स्वतंत्र रूप से दो बार उछाला जाता है। तो द्विघात बहुपद $x ^2-\alpha x +\beta$ के मूल वास्तविक तथा समान होने की प्रायिकता होगी

A

$\frac{40}{81}$

B

$\frac{20}{81}$

C

$\frac{1}{2}$

D

$\frac{1}{4}$

(IIT-2020)

Solution

$P ( H )=\frac{2}{3} \text { for } C _1$

$P ( H )=\frac{1}{3} \text { for } C _2$

for $C _1$

No. of Heads $(\alpha)$	$0$	$1$	$2$
Probability	${1}{9}$	${4}{9}$	${4}{9}$

for $C _2$

No. of Heads $(\alpha)$	$0$	$1$	$2$
Probability	${1}{9}$	${4}{9}$	${1}{9}$

for real and equal roots

$\alpha^2=4 \beta$

$(\alpha, \beta)=(0,0),(2,1)$

So, probability $=\frac{1}{9} \times \frac{4}{9}+\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{20}{81}$

Standard 11

Mathematics

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