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माना वृत्त $x ^2+ y ^2= r ^2$ जहाँ $r >\frac{\sqrt{5}}{2}$ है का केन्द्र $O$ है। माना इस वृत्त की जीवा $PQ$ तथा रेखा का समीकरण, जो बिन्दु $P$ तथा $Q$ से गुजरता है, $2 x +4 y =5$ है। यदि त्रिभुज $OPQ$ के परिवृत्त का केन्द्र रेखा $x +2 y =4$ पर स्थित हो, तो $r$ का मान होगा. . . . .
$1$
$2$
$3$
$4$
Solution
(image)
$M – I$
$OA =\frac{\sqrt{5}}{2} \quad OC =\frac{4}{\sqrt{5}}$
$CQ = OC =\frac{4}{\sqrt{5}} \text { and } CA =\frac{3}{2 \sqrt{5}}$
$\therefore \quad O Q=\sqrt{ OA ^2+ AQ ^2}=\sqrt{ OA ^2+\left( CQ ^2- CA ^2\right)}$
$\Rightarrow \quad \sqrt{\frac{5}{4}+\frac{16}{5}-\frac{9}{20}}=\sqrt{4}$
$\Rightarrow \quad 2= r$
(image)
$P Q: h x+k y=r^2$
$\text { Given } P Q \quad 2 x+4 y=5$
$\Rightarrow \quad \frac{h}{2}=\frac{k}{4}=\frac{r^2}{5} \Rightarrow h=\frac{2 r^2}{5}\quad k=\frac{4 r^2}{5}$
$\therefore \quad C=\left(\frac{r^2}{5}, \frac{2 r^2}{5}\right)$
$\therefore \quad C \text { lies on } x+2 y=4 \quad \Rightarrow \quad \frac{r^2}{5}+2\left(\frac{2 r^2}{5}\right)=4$
$\Rightarrow \quad r^2=4 \Rightarrow r=2$
