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बिन्दु $(4, 3)$ से वृत्त ${x^2} + {y^2} = 9$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गयी हैं। इन स्पर्श रेखाओं और इनके स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है
$\frac{{24}}{{25}}$
$\frac{{64}}{{25}}$
$\frac{{192}}{{25}}$
$\frac{{192}}{5}$
Solution
(c) $AB$ का समीकरण है, $4x + 3y = 9$….(i)
{यह स्पर्श जीवा है}
$OQ = \frac{9}{5}$, [$AB$ की मूलबिन्दु से लम्बवत् दूरी]
$AQ = \sqrt {O{A^2} – O{Q^2}} = \sqrt {9 – \frac{{81}}{{25}}} = \frac{{12}}{5}$
$AB = 2AQ = \frac{{24}}{5}$
$PQ = \frac{{16 + 9 – 9}}{{\sqrt {16 + 9} }} = \frac{{16}}{5}$
अत: क्षेत्रफल $ = \frac{1}{2} \times \frac{{24}}{5} \times \frac{{16}}{5} = \frac{{192}}{{25}}$.
वैकल्पिक : अभीष्ट क्षेत्रफल $ = \frac{a}{{{h^2} + {k^2}}}{({h^2} + {k^2}- {a^2})^{3/2}}$
$ = \frac{3}{{{4^2} + {3^2}}}{({4^2} + {3^2} – 9)^{3/2}} = \frac{{192}}{{25}}$.
