माना $a$ तथा $b$ धनात्मक वास्तविक संख्यायें इस प्रकार है कि $a >1$ तथा $b < a$ है। माना एक बिन्दु $P$ प्रथम चतुर्थाश में अतिपरवलय पर स्थित है। माना अतिपरवलय के बिन्दु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिन्दु $(1,0)$ से गुजरती है तथा अतिपरवलय के बिन्दु $P$ पर खींचा गया अभिलम्ब निर्देशी अक्षों पर समान अन्त: खण्ड कास्ता है। माना बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा, बिन्दु $P$ पर अभिलम्ब तथा $x$-अक्ष द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल को $\Delta$ से दर्शाते है। यदि अतिपरवलय की उत्केन्द्रता को $e$ से दर्शाते है, तो निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे ?

$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$

$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$

$(C)$ $\Delta=a^4$

$(D)$ $\Delta=b^4$

माना अतिपरवलय $H : \frac{ x ^2}{ a ^2}- y ^2=1$ तथा दीर्घवत्त $E : 3 x ^2+4 y ^2=12$ इस प्रकार है कि $H$ तथा $E$ के नाभिलम्बों की लम्बाईयाँ समान हैं। यदि $e _{ H }$ तथा $e_E$ क्रमशः $H$ तथा $E$ की उत्केन्द्रताएं हो, तो $12\left( e _{ H }^2+ e _{ E }^2\right)$ का मान होगा $...............$

अतिपरवलय $xy = a\,(a \ne 0)$ के बिन्दु $(a, 1)$ पर खींची गयी स्पर्श की प्रवणता (slope) होगी

अतिपरवलयों के शीर्षों, नाभियों के निर्देशांक, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए

$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$

यदि अतिपरवलय $4 y ^{2}= x ^{2}+1$ पर खींची गई स्पर्शरिखाएँ निर्देशांक अक्षों को भिन्न बिंदुओं $A$ तथा $B$ पर काटती हैं, तो $AB$ के मध्य्यबिंदु का बिंदुपथ है

यदि रेखा $y = 2x + \lambda $ अतिपरवलय $36{x^2} - 25{y^2} = 3600$ की स्पर्श रेखा हो तो  $\lambda  = $