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एक वर्ग $ABCD$ के सभी शीर्ष वक्र $x ^{2} y ^{2}=1$ पर हैं। इसकी भुजाओं के मध्यबिंदु भी इसी वक्र पर हैं तो $ABCD$ के क्षेत्रफल का वर्ग है ............ |
$70$
$96$
$75$
$80$
Solution
$xy =1,-1$
$\frac{t_{1}+t_{2}}{2} \cdot \frac{\frac{1}{t_{1}}-\frac{1}{t_{2}}}{2}=1$
$\Rightarrow t_{1}^{2}-t_{2}^{2}=4 t_{1} t_{2}$
$\frac{1}{t_{1}^{2}} \times\left(-\frac{1}{t_{2}^{2}}\right)=-1 \Rightarrow t_{1} t_{2}=1$
$\Rightarrow\left(t_{1} t_{2}\right)^{2}=1 \Rightarrow t_{1} t_{2}=1$
$t_{1}^{2}-t_{2}^{2}=4$
$\Rightarrow t_{1}^{2}+t_{2}^{2}=\sqrt{4^{2}+4}=2 \sqrt{5}$
$A B^{2}=\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{t_{1}}+\frac{1}{t_{2}}\right)^{2}$
$\Rightarrow t_{1}^{2}=2+\sqrt{5} \Rightarrow \frac{1}{t_{1}^{2}}=\sqrt{5}-2$
$=2\left(t_{1}^{2}+\frac{1}{t_{1}^{2}}\right)=4 \sqrt{5} \Rightarrow$ Area $^{2}=80$
