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माना कि $2 \times 2$ सममित आव्यूह (symmetric matrix) $M$ के सभी अवयव (elements) पूर्णांक (integer) हैं। तब व्युत्क्रमणीय (invertible) है, यदि
$(A)$ $M$ का पहला स्तम्भ $M$ की दूसरी पक्ति का परिवर्त (transpose) है।
$(B)$ $M$ की दूसरी पंक्ति $M$ के पहले स्तम्भ का परिवर्त है।
$(C)$ $M$ एक विकर्ण आव्यूह (diagonal matrix) है जिसके मुख्य विकर्ण (main diagonal) के अवयव शून्यतर (non-zero) हैं
$(D)$ $M$ के मुख्य विकर्ण (main diagonal) के अवयवों का गुणनफल किसी भी पूर्णांक का वर्ग नहीं है।
$(A,D)$
$(C,D)$
$(B,D)$
$(B,C)$
Solution
$M=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right]$
$(A)$ $\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right] \&[ b c]$ are transpose.
So $\left[\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}b \\ c\end{array}\right]$ is given $\Rightarrow a=b=c$
$M=\left[\begin{array}{ll}a & a \\ a & a\end{array}\right] \quad \Rightarrow \quad|M|=0 \quad$ A is wrong.
$(B)$ $[ b c] \&\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]$ are transpose.
So $a = b = c$ $B$ is wrong
$(C)$ $M =\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & c \end{array}\right] \quad \Rightarrow \quad| M |= ac \neq 0 \quad C$ is correct
$(D)$ $M=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right]$ given $a c \neq \lambda^2$.
$D$ is correct
$(C, D)$ are correct.
