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माना कि $f(x)=x^4+a x^3+b x^2+c$ वास्तविक गुणांकों (real coefficients ) वाला एक ऐसा बहुपद (polynomial) है कि $f(1)=-9$ है। मान लीजिये कि $i \sqrt{3}$, समीकरण $4 x^3+3 a x^2+2 b x=0$ का एक मूल है, जहां $i=\sqrt{-1}$ है। यदि $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$, और $\alpha_4$, समीकरण $f(x)=0$ के सभी मूल हैं, तब $\left|\alpha_1\right|^2+\left|\alpha_2\right|^2+\left|\alpha_3\right|^2+\left|\alpha_4\right|^2$ का मान. . . . . है।
$10$
$20$
$30$
$40$
Solution
$f(1)=1+a+b+c=-9 \quad \Rightarrow \quad a+b+c=-10$ $. . . . (1)$
$4 x^3+3 a x^2+2 b x=0 \text { roots are } \sqrt{3} i,-\sqrt{3} i, 0$
$\Rightarrow \quad 4 x ^2+3 ax +2 b =0 < {l} \sqrt{3} i$
$-\sqrt{3} i$
$\Rightarrow \quad a =0 \& \frac{2 b }{4}=(\sqrt{3} i )(-\sqrt{3} i )$
$b =6 \text { use } a , b \text { in (1) } \Rightarrow c =-16$
$\Rightarrow \quad f(x)=x^4+6 x^2-16=0$
$\left(x^2+8\right)\left(x^2-2\right)=0$
$\Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{8} i , \pm \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad\left|\alpha_1\right|^2+\left|\alpha_2\right|^2+\left|\alpha_3\right|^2+\left|\alpha_4\right|^2=20$
