જો f(x) = (1 + {b^2}){x^2} + 2bx + 1 અને m(b) એ આપેલ b માટે f(x) નુ?

English

Gujarati

Hindi

1.Relation and Function

hard

જો $f(x) = (1 + {b^2}){x^2} + 2bx + 1$ અને $m(b)$ એ આપેલ $b$ માટે $f(x)$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે તો $b$ ને બદલવામાં આવે $m(b)$ નો વિસ્તાર મેળવો.

A

$[0, 1]$

B

$\left( {0,\;\frac{1}{2}} \right]$

C

$\left[ {\frac{1}{2},\;1} \right]$

D

$(0,\;1]$

(IIT-2001)

Solution

(d) $f(x) = (1 + {b^2}){x^2} + 2bx + \frac{{{b^2}}}{{(1 + {b^2})}} – \frac{{{b^2}}}{{1 + {b^2}}} + 1$

$ = (1 + {b^2})\,{\left( {x + \frac{b}{{1 + {b^2}}}} \right)^2} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} \ge \frac{1}{{1 + {b^2}}}$

$\therefore$ $m(b) = \frac{1}{{1 + {b^2}}}$, so range of $m(b) = (0,\,1]$.

Standard 12

Mathematics

Share

Similar Questions

$f(x)=4 \sqrt{2} x^3-3 \sqrt{2} x-1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f:\left[\frac{1}{2}, 1\right] \rightarrow \mathbb{R}$ ધ્યાને લો. નીચેના વિધાનો ધ્યાને લો

$(I)$ $y=f(x)$ એ $x$-અક્ષને બરાબર એક બિંદુએ છેદ છે.

$(II)$ $y=f(x)$ એ $x$-અક્ષને $x=\cos \frac{\pi}{12}$ આગળ છેદ છે. તો…….

medium

(JEE MAIN-2024)

વિધેય $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{\sqrt{5}}(3+\cos \left(\frac{3 \pi}{4}+\mathrm{x}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{4}+\mathrm{x}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{4}-\mathrm{x}\right)$

$-\cos \left(\frac{3 \pi}{4}-\mathrm{x}\right))$ નો વિસ્તાર મેળવો.

hard

(JEE MAIN-2021)

જો વિધેય $f(x) = \frac{1}{4}{x^2} + bx + 10$ માટે $f\left( {12 – x} \right) = f\left( x \right)\,\forall \,x\, \in \,R$ , હોય તો $'b'$ નિ કિમત મેળવો.

normal

વિધેય $y(x)$ ને ${2^x} + {2^y} = 2$ સબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય તો તેનો પ્રદેશ મેળવો.

easy

(IIT-2000)

એક શાળાના ધોરણ $X$ ના બધા જ $50$ વિદ્યાર્થીઓનો ગણ $A$ છે.

વિધેય $f: A \rightarrow N$, $'f(x)=$ વિદ્યાર્થી $x$ નો રોલ નંબરદ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $f$ એક-એક છે, પરંતુ વ્યાપ્ત નથી.

easy