वास्तविक गुणांक वाले बहुपद $g ( x )$ के लिये, माना $g ( x )$ के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $m _{ g }$ से दर्शाते है। माना वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों का समुच्चय $S$ है जो

$S=\left\{\left(x^2-1\right)^2\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3\right): a_0, a_1, a_2, a_3 \in R\right\}$ द्वारा परिभाषित है। बहुपद $f$ के लिये, माना $f^{\prime}$ तथा $f^{\prime \prime}$ क्रमशः इसके प्रथम तथा द्वितीय कोटि अवकलज है। तब $\left( m f^{\prime}+ m f^{\prime \prime}\right)$, जहाँ $f \in S$ का न्यूनतम संभव मान होगा

मध्यमान प्रमेय $\frac{{f(b) – f(a)}}{{b – a}} = f'(c)$ में, यदि $a = 0,b = \frac{1}{2}$ तथा $f(x) = x(x – 1)(x – 2)$ हो, तो $ c$  का मान है

यदि $c$ एक बिंदु है जिस पर, अंतराल $[3,4]$ में, फलन $f( x )=\log _{ e }\left(\frac{ x ^{2}+\alpha}{7 x }\right)$ पर रोले प्रमेय लागू होता है, जहाँ $\alpha$ $\in R$ है, तो $f^{\prime \prime}( c )$ बराबर है

मान लीजिए कि $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow R , \psi_2:[0, \infty) \rightarrow R , f:[0, \infty) \rightarrow R$ और $g :[0, \infty) \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं कि

$f(0)=g(0)=0,$

$\psi_1( x )= e ^{- x }+ x , \quad x \geq 0,$

$\psi_2( x )= x ^2-2 x -2 e ^{- x }+2, x \geq 0,$

$f( x )=\int_{- x }^{ x }\left(|t|- t ^2\right) e ^{- t ^2} dt , x >0$

और

$g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} d t, x>0$

($1$) निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है ?

$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$

$(B)$ प्रत्येक $x >1$ के लिए, एक ऐसा $\alpha \in(1, x )$ विद्यमान है जिसके लिए $\psi_1( x )=1+\alpha x$ है।

$(C)$ प्रत्येक $x >0$ के लिए, एक ऐसा $\beta \in(0, x )$ विद्यमान है जिसके लिए $\psi_2( x )=2 x \left(\psi_1(\beta)-1\right)$ है।

$(D)$ अंतराल $\left[0, \frac{3}{2}\right]$ में $f$ एक वर्धमान फलन (increasing function) है।

($2$) निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है?

$(A)$ सभी $x >0$ के लिए, $\psi_1( x ) \leq 1$ है।

$(B)$ सभी $x >0$ के लिए, $\Psi_2( x ) \leq 0$ है।

$(C)$ सभी $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए, $f( x ) \geq 1- e ^{- x ^2}-\frac{2}{3} x ^3+\frac{2}{5} x ^5$ है।

$(D)$ सभी $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए, $g ( x ) \leq \frac{2}{3} x ^3-\frac{2}{5} x ^5+\frac{1}{7} x ^7$ है।

यदि $f:[-5,5] \rightarrow R$ एक संतत फलन है और यदि $f^{\prime}(x)$ किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि $f(-5) \neq f(5)$