माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^{2}-4 x-3,$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल $[a, b]$ में $f(x)=x^{2}-4 x-3,$ जहाँ $a=1$ और $b=4$ है।
The given function is $f(x)=x^{2}-4 x-3$
$f,$ being a polynomial function, is a continuous in $[1,4]$ and is differentiable in $(1,4)$ whose derivative is $2 x-4$
$f(1)=1^{2}-4 \times 1-3=6, f(4)=4^{2}-4 \times 4-3=-3$
$\therefore \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{-3-(-6)}{3}=\frac{3}{3}=1$
Mean Value Theorem states that there is a point $c \in(1,4)$ such that
$f^{\prime}(c)=1$ $f^{\prime}(c)=1$
$\Rightarrow 2 c-4=1$
$\Rightarrow c=\frac{5}{2},$ where $c=\frac{5}{2} \in(1,4)$
Hence, Mean Value Theorem is verified foer the given function.
Similar Questions
इस प्रश्न में $[x]$ वह अधिकतम पूर्णांक है जो दी गयी वास्तविक संख्या $x$ से कम या बराबर है। दिये गए फलन $f(x)=[x] \sin \pi x$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा कथन उचित है:
इस प्रश्न में $[x]$ वह अधिकतम पूर्णांक है जो दी गयी वास्तविक संख्या $x$ से कम या बराबर है। दिये गए फलन $f(x)=[x] \sin \pi x$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा कथन उचित है:
- [KVPY 2014]
यदि मध्यमान प्रमेय से, $f'({x_1}) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}$, तो
यदि मध्यमान प्रमेय से, $f'({x_1}) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}$, तो
फलन $f(x)=x^{2}+2 x-8, x \in[-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
फलन $f(x)=x^{2}+2 x-8, x \in[-4,2]$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
माना अन्तराल $(-2,2)$ में $f$ तथा $g$ दो बार अवकलनीय समफलन इस प्रकार है कि $f\left(\frac{1}{4}\right)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=0, f(1)=1$ तथा $g\left(\frac{3}{4}\right)=0, g(1)=2$ है। तब अन्तराल $(-2,2)$ में $f$ (x) $g ^{\prime \prime}( x )+ f ^{\prime}( x ) g ^{\prime}( x )=0$ के हलों की न्यूनतम संख्या है।
माना अन्तराल $(-2,2)$ में $f$ तथा $g$ दो बार अवकलनीय समफलन इस प्रकार है कि $f\left(\frac{1}{4}\right)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=0, f(1)=1$ तथा $g\left(\frac{3}{4}\right)=0, g(1)=2$ है। तब अन्तराल $(-2,2)$ में $f$ (x) $g ^{\prime \prime}( x )+ f ^{\prime}( x ) g ^{\prime}( x )=0$ के हलों की न्यूनतम संख्या है।
- [JEE MAIN 2022]
किस अन्तराल के लिए फलन $\frac{{{x^2} - 3x}}{{x - 1}}$ रोले प्रमेय की सभी शर्तों को सन्तुष्ट करता है
किस अन्तराल के लिए फलन $\frac{{{x^2} - 3x}}{{x - 1}}$ रोले प्रमेय की सभी शर्तों को सन्तुष्ट करता है