माना $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2}\ln x,\,x > 0} \\ 
  {0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0} 
\end{array}} \right\}$, तब $x \in [0,1]$ के लिए  $ f$  पर रोले की प्रमेय मान्य है, यदि $\alpha = $

यदि फलन $f(x)=2 x^{3}+ a x^{2}+ b x$ के लिए अंतराल $[-1,1]$ में बिंदु $c =\frac{1}{2}$ पर रोले का प्रमेय लागू है, तो $2 a + b$ का मान है

यदि $f ^{\prime} G \left(\frac{4}{3}\right)=0$, के साथ फलन $f(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-4, x \in[1,2]$ के लिए रोले का प्रमेय लागू होता है, तो क्रमित युग्म $( a , b )$ बराबर है

जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?

$f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in [1,2]$

माना $\mathrm{g}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R}$ एक परिवर्तनीय तथा दो बार अवकलनीय फलन है और $\mathrm{g}^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{g}^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$ है यदि एक वास्तविक मान फलन $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2}[\mathrm{~g}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(2-\mathrm{x})]$, द्वारा परिभाषित है, तो :

वास्तविक गुणांक वाले बहुपद $g ( x )$ के लिये, माना $g ( x )$ के विभिन्न वास्तविक मूलों की संख्या $m _{ g }$ से दर्शाते है। माना वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों का समुच्चय $S$ है जो

$S=\left\{\left(x^2-1\right)^2\left(a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3\right): a_0, a_1, a_2, a_3 \in R\right\}$ द्वारा परिभाषित है। बहुपद $f$ के लिये, माना $f^{\prime}$ तथा $f^{\prime \prime}$ क्रमशः इसके प्रथम तथा द्वितीय कोटि अवकलज है। तब $\left( m f^{\prime}+ m f^{\prime \prime}\right)$, जहाँ $f \in S$ का न्यूनतम संभव मान होगा