જો $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2}\ln x,\,x > 0} \\ 
  {0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0} 
\end{array}} \right\}$ ,અને $x \in [0,1]$ માં વિધેય $f$ એ  રોલનું પ્રમેય નું પાલન કરતુ હોય તો     

વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ છે કે જેથી $f(x) + \int\limits_0^x {g(t)dt = 2\,\sin \,x\, - \,\frac{\pi }{2}} $ અને  $f'(x).g (x) = cos^2\,x$ હોય તો અંતરાલ  $(0,3 \pi$) પર સમીકરણ $f(x) + g(x) = 0$ ના ઉકેલની સંખ્યા મેળવો.

$f(x)$ એ  $[1,2]$ પર સતત અને $(1,2)$ પર વિકલનીય આપેલ છે જે $f(1) = 2, f(2) = 3$ અને $f'(x) \geq 1 \forall x \in (1,2)$ નું પાલન કરે છે અને $g(x)=\int\limits_1^x {f(t)\,dt\,\forall \,x\, \in [1,2]} $ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે તો $[1,2]$ પર $g(x)$ ની મહતમ કિમંત મેળવો.

અંતરાલ $[1, a]$ પર વિધેય $f(x) = 2x^2 + 3x + 5$ એ $x = 3$ આગળ મધ્યકમાન પ્રમેયનું પાલન કરે છે તો $a$ ની કિમંત મેળવો.

જો $f(x) = \cos x,0 \le x \le {\pi \over 2}$, તો વાસ્તવિક સંખ્યા $‘c’$ મધ્યકમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી ને મેળવો.

જો વિધેય $f(x) = {x^3} - 6{x^2} + ax + b$ એ અંતરાલ $[1,\,3]$ માં રોલનું પ્રમેય પાલન કરે છે અને $f'\left( {{{2\sqrt 3 + 1} \over {\sqrt 3 }}} \right) = 0$ તો $a =$ ..............