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8. Sequences and Series
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माना ${a_n}$ धनात्मक संख्याओं की गुणोत्तर श्रेणी का $n$ वाँ पद है। माना $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = \alpha $ व $\sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n - 1}}} = \beta $ इस प्रकार हैं कि $\alpha \ne \beta $, तो सार्वअनुपात है
A
$\frac{\alpha }{\beta }$
B
$\frac{\beta }{\alpha }$
C
$\sqrt {\frac{\alpha }{\beta }} $
D
$\sqrt {\frac{\beta }{\alpha }} $
(IIT-1992)
Solution
(a) माना कि $a,\;ar,\;a{r^2}…….,$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
अब, $\alpha = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n}}} = {a_2} + {a_4} + …….$100 पदों तक
$ = ar + a{r^3} + …….$ $100$ पदों तक
$ = ar(1 + {r^2} + {r^4} + ……{r^{198}})$
और $\beta = \sum\limits_{n = 1}^{100} {{a_{2n – 1}}} = a + a{r^3} + …..{\rm{100}}$ पदों तक
$ = a(1 + {r^2} + …… + {r^{198}})$
स्पष्टत: $\frac{\alpha }{\beta } = r$.
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