જો વિધેય $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ એ અંતરાલ $[-1, 1 ]$ પર બિંદુ $c = \frac{1}{2}$ આગળ રોલના પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય $2a + b$ ની કિમંત મેળવો.

સરેરાશ મૂલ્ય પ્રમેયના અનુસાર $x \in $ [$0, 1$] અંતરાલમાં કયું વિધેય અનુસરતું નથી ?

જો બહુપદી સમીકરણ  $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + … + a_2x^2 + a_1x + a_0 = 0$  જ્યાં $n$  ધન પૂર્ણાક સંખ્યા, ના બે ભિન્ન બીજ $ \alpha$  અને $\beta $  હોય, તો $ \alpha  $ અને $\beta$   વચ્ચે સમીકરણ $ na_nx^{n-1} + (n – 1)a_{n-1 }x^{n-2} + …. a_1 = 0 $ એ  $ (\alpha , \beta )$ અંતરાલમાં કેટલા બીજ હોય ?

મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ $f(b) – f(a) = $ $(b – a)f'({x_1});$  $a < {x_1} < b$ જો $f(x) = {1 \over x}$, તો ${x_1} = $

જો $f:R \to R$ અને  $f(x)$ એ દસ ઘાતાંકીય બહુપદી છે કે જેથી $f(x)=0$ ના બધાજ બિજો વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે . તો સમીકરણ ${\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} – f\left( x \right)f''\left( x \right) = 0$ ને  કેટલા બિજો વાસ્તવિક છે ?