જો x_1,x_2,x_3 in R-{0} ,x_1 + x_2 + x_ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

Consider a cubic equation whose roots are

$\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ and $\mathrm{x}_{3}$

$f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\alpha \mathrm{x}^

Vedclass · Accepted Answer

બધા અયુગ્મ સંખ્યા $n$

Vedclass · Answer

Consider a cubic equation whose roots are

$\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ and $\mathrm{x}_{3}$

$f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\alpha \mathrm{x}^{2}+\beta \mathrm{x}+\gamma$

$=\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}ight)\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{2}ight)\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{3}ight)=0$

Given $\left(\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{2} \mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{3} \mathrm{x}_{1}ight)\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}ight)=\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} \mathrm{x}_{3}$

$\beta(-\alpha)=-\gamma$

$\gamma=\alpha \beta$

$	herefore f(\mathrm{x})=0=\mathrm{x}^{3}+\alpha \mathrm{x}^{2}+\beta \mathrm{x}+\alpha \beta$

$=\mathrm{x}^{2}(\mathrm{x}+\alpha)+\beta(\mathrm{x}+\alpha)=(\mathrm{x}+\alpha)\left(\mathrm{x}^{2}+\betaight)$

$	herefore \quad \mathrm{x}=-\alpha$

Let $\mathrm{x}_{1}=-\alpha ; \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}=-\alpha \Rightarrow \mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}=0$

$\Rightarrow \quad x_{2}=-x_{3}$

$	herefore \frac{1}{\mathrm{x}_{1}^{\mathrm{n}}+\mathrm{x}_{2}^{\mathrm{n}}+\mathrm{x}_{3}^{\mathrm{n}}}=\frac{1}{\mathrm{x}_{1}^{\mathrm{n}}+\left(\mathrm{x}_{2}ight)^{\mathrm{n}}+\left(-\mathrm{x}_{2}ight)^{\mathrm{n}}}$

$=\frac{1}{x_{1}^{n}}+\frac{1}{x_{2}^{n}}+\frac{1}{\left(-x_{2}ight)^{n}}$

Which is true for all odd integer $n$.

જો $x_1,x_2,x_3 \in R-\{0\} $ ,$x_1 + x_2 + x_3\neq 0$ અને $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{1}{x_1+x_2+x_3}$, હોય તો $\frac{1}{{x^n}_1+{x^n}_2+{x^n}_3} =\frac{1}{{x^n}_1}+\frac{1}{{x^n}_2}+\frac{1}{{x^n}_3}$ .......... માટે શકય છે

Similar Questions

$ \alpha $ એ $x$ ની ન્યૂનતમ પૃણાંક કિમત છે કે જેથી $\frac{{x - 5}}{{{x^2} + 5x - 14}} > 0$ થાય તો .....

ધારો કે $\mathrm{S}=\left\{x \in R:(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x=10\right\}$. તો $\mathrm{S}$ માં સભ્યો ની સંખ્યા ____________ છે.

જો $x$ વાસ્તવિક હોય, તો પદાવલિ $\frac{{{x^2}\, - \,3x\, + \,4}}{{{x^2} + 3x\, + \,4}}$ નું મહત્તમ અને ન્યૂનત્તમ મૂલ્ય કેટલું થાય ?

જો $a, b, c \in R$ અને $1$ એ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના ઉકેલો હોય તો વક્ર y $= 4ax^2 + 3bx+ 2c, a \ne 0$ એ $x-$ ક્યાં બિંદુએ છેદશે ?