જો x_1,x_2,x_3 in R-{0} ,x_1 + x_2 + x_ | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

Consider a cubic equation whose roots are

$\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ and $\mathrm{x}_{3}$

$f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\alpha \mathrm{x}^

Vedclass · Accepted Answer

બધા અયુગ્મ સંખ્યા $n$

Vedclass · Answer

Consider a cubic equation whose roots are

$\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}$ and $\mathrm{x}_{3}$

$f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}+\alpha \mathrm{x}^{2}+\beta \mathrm{x}+\gamma$

$=\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{1}ight)\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{2}ight)\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{3}ight)=0$

Given $\left(\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{2} \mathrm{x}_{3}+\mathrm{x}_{3} \mathrm{x}_{1}ight)\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}ight)=\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} \mathrm{x}_{3}$

$\beta(-\alpha)=-\gamma$

$\gamma=\alpha \beta$

$	herefore f(\mathrm{x})=0=\mathrm{x}^{3}+\alpha \mathrm{x}^{2}+\beta \mathrm{x}+\alpha \beta$

$=\mathrm{x}^{2}(\mathrm{x}+\alpha)+\beta(\mathrm{x}+\alpha)=(\mathrm{x}+\alpha)\left(\mathrm{x}^{2}+\betaight)$

$	herefore \quad \mathrm{x}=-\alpha$

Let $\mathrm{x}_{1}=-\alpha ; \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}=-\alpha \Rightarrow \mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}=0$

$\Rightarrow \quad x_{2}=-x_{3}$

$	herefore \frac{1}{\mathrm{x}_{1}^{\mathrm{n}}+\mathrm{x}_{2}^{\mathrm{n}}+\mathrm{x}_{3}^{\mathrm{n}}}=\frac{1}{\mathrm{x}_{1}^{\mathrm{n}}+\left(\mathrm{x}_{2}ight)^{\mathrm{n}}+\left(-\mathrm{x}_{2}ight)^{\mathrm{n}}}$

$=\frac{1}{x_{1}^{n}}+\frac{1}{x_{2}^{n}}+\frac{1}{\left(-x_{2}ight)^{n}}$

Which is true for all odd integer $n$.

જો $x_1,x_2,x_3 \in R-\{0\} $ ,$x_1 + x_2 + x_3\neq 0$ અને $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{1}{x_1+x_2+x_3}$, હોય તો $\frac{1}{{x^n}_1+{x^n}_2+{x^n}_3} =\frac{1}{{x^n}_1}+\frac{1}{{x^n}_2}+\frac{1}{{x^n}_3}$ .......... માટે શકય છે

Similar Questions

જો સમીકરણ $y = ax^2 -bx + c$ નો ગ્રાફ નીચે મુજબ હોય તો $a$, $b$, $c$ ના ચિહ્નો અનુક્રમે ......... થાય

જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^{2}+(20)^{\frac{1}{4}} x+(5)^{\frac{1}{2}}=0$ ના બીજ હોય તો $\alpha^{8}+\beta^{8}$ ની કિમંત મેળવો.

સમીકરણ $x|x-1|+|x+2|+a=0$ ને બરાબર એક જ વાસ્તવિક બીજ હોય, તેવા તમામ $a \in R$ નો ગણ $........$ છે.

જો $P(x) = x^3 - ax^2 + bx + c$ જ્યાં $a, b, c \in R$ ને પૂર્ણાક ઉકેલો મળે કે જેથી $P(6) = 3$, થાય તો $' a '$ ની કિમત ......... શક્ય નથી

જો $\alpha ,\beta$ એ સમીકરણ $x^2 -ax + b = 0$ ના ઉકેલો હોય અને $\alpha^n + \beta^n = V_n$, હોય તો