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माना एक त्रिभुज, रेखाओं $L _1: 2 x +5 y =10$; $L _2:-4 x +3 y =12$ द्वारा परिबद्ध है तथा रेखा $L _3$ जो बिन्दु $P (2,3)$ से गुजरती है रेखा $L _2$ को $A$ पर तथा रेखा $L _1$ को $B$ पर काटती है। यदि बिन्दु $P$, रेखाखण्ड $AB$ को आंतरिक रूप से $1: 3$ के अनुपात में विभाजित करता है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल के बराबर है
$\frac{110}{13}$
$\frac{132}{13}$
$\frac{142}{13}$
$\frac{151}{13}$
Solution
Points $A$ lies on $L _{2}$
$A \left(\alpha, 4+\frac{4}{3} \alpha\right)$
Points $B$ lies on $L _{1}$
$B \left(\beta, 2-\frac{2}{5} \beta\right)$
Points $P$ divides $AB$ internally in the ratio $1: 3$
$\Rightarrow P(2,3)=P\left(\frac{3 \alpha+\beta}{4}, \frac{3\left(4+\frac{4}{3} \alpha\right)+1\left(2-\frac{2}{5} \beta\right)}{4}\right)$
$\Rightarrow \alpha=\frac{3}{13}, \beta=\frac{95}{13}$
Point $A \left(\frac{3}{13}, \frac{56}{13}\right), B \left(\frac{95}{13},-\frac{12}{13}\right)$
Vertex $C$ of triangle is the point of intersection of $L _{1} and L _{2}$
$\Rightarrow C \left(-\frac{15}{13}, \frac{32}{13}\right)$
area $\triangle ABC =\frac{1}{2}\left\|\begin{array}{ccc}\frac{3}{13} & \frac{56}{13} & 1 \\ \frac{95}{13} & -\frac{12}{13} & 1 \\ -\frac{15}{13} & \frac{32}{13} & 1\end{array}\right\|$
$\frac{1}{2 \times 13^{3}}\left\|\begin{array}{ccc} 3 & 56 & 13 \\ 95 & -12 & 13 \\ -15 & 32 & 13 \end{array}\right\|$
area $\triangle ABC =\frac{132}{13}$ sq. units.
