माना $(\mathrm{x}+3)^{\mathrm{n}-1}+(\mathrm{x}+3)^{\mathrm{n}-2}(\mathrm{x}+2)+$ $(x+3)^{n-3} \cdot(x+2)^2+\ldots \ldots .+(x+2)^{n-1}$ के प्रसार में $x^r$ का गुणांक $\alpha_r$ है। यदि $\sum_{\mathrm{r}=0}^{\mathrm{n}} \alpha_{\mathrm{r}}=\beta^{\mathrm{n}}-\gamma^{\mathrm{n}}, \beta, \gamma \in \mathrm{N}$ है, तो $\beta^2+\gamma^2$ बराबर है ........

यदि  ${(1 + x)^{15}} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + ...... + {C_{15}}{x^{15}}$ हो, तब ${C_2} + 2{C_3} + 3{C_4} + .... + 14{C_{15}}$ का मान है

${C_0} - {C_1} + {C_2} - {C_3} + ..... + {( - 1)^n}{C_n}$ बराबर होगा

यदि $\sum \limits_{ k =1}^{10} K ^2\left(10_{ C _{ K }}\right)^2=22000 L$ है, तो $L$ बराबर $..............$ है।

यदि $1+\left(2+{ }^{49} C _1+{ }^{49} C _2+\ldots \ldots+{ }^{49} C _{49}\right)\left({ }^{50} C _2+\right.$ $\left.{ }^{50} C _4+\ldots . .+{ }^{50} C _{50}\right)=2^{ n } . m$ है, जहाँ $m$ एक विषम संख्या है, तो $n + m$ बराबर है $..........$

$\sum \limits_{\substack{i, j=0 \\ i \neq j}}^{ n }{ }^n C_i{ }^n C_j$ बराबर है :