$(1+x)^{n+2}$ के द्विपद प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांकों का योगफल, जो $1: 3: 5$ अनुपात में है, होगा

माना $C _{ r },(1+ x )^{10}$ के प्रसार में $x ^{ r }$ के द्विपद गुणांक को प्रदर्शित करता है। यदि $\alpha, \beta \in R$ के लिए

$C _1+3.2 C _2+5 \cdot 3 C _3+\ldots 10$ पद तक

$=\frac{\alpha \times 2^{11}}{2^\beta-1}( C _0+\frac{ C _1}{2}+\frac{ C _2}{3}+\ldots . .10$ पद तक है,तो $\alpha+\beta$ का मान होगा

यदि $( x + y )^{ n }$ के प्रसार में गुणांकों का योगफल $4096$ है, तब प्रसार में महत्तम गुणांक है ....... |

यदि $\frac{{ }^{11} \mathrm{C}_1}{2}+\frac{{ }^{11} \mathrm{C}_2}{3}+\ldots . .+\frac{{ }^{11} \mathrm{C}_9}{10}=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}$ है तथा $\operatorname{gcd}(\mathrm{n}, \mathrm{m})=1$ है, तो $\mathrm{n}+\mathrm{m}$ बराबर है ............ 

यदि ${ }^{20} C _{1}+\left(2^{2}\right){ }^{20} C _{2}+\left(3^{2}\right){ }^{20} C _{3}+\ldots \ldots+$ $\left(20^{2}\right)^{20} C _{20}= A \left(2^{\beta}\right)$, तो क्रमित युग्म $( A , \beta)$ बराबर है

$\sum_{r=0}^{6}\left({ }^{6} C _{r} \cdot{ }^{6} C _{6- r }\right)$ का मान बराबर है