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माना एक दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ की नाभियाँ तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई क्रमशः $( \pm 5,0)$ तथा $\sqrt{50}$ हैं तो अतिपरवलय $\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{~b}^2}-\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{a}^2 \mathrm{~b}^2}=1$ की उत्केन्द्रता का वर्ग बराबर है ..............
$40$
$48$
$51$
$50$
Solution
$\text { focii } \equiv( \pm 5,0) ; \frac{2 b^2}{a}=\sqrt{50} $
$ae=5 \quad b^2=\frac{5 \sqrt{2} a}{2} $
$b^2=a^2\left(1-e^2\right)=\frac{5 \sqrt{2} a}{2}$
$ \Rightarrow \mathrm{a}\left(1-\mathrm{e}^2\right)=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \frac{5}{\mathrm{e}}\left(1-\mathrm{e}^2\right)=\frac{5 \sqrt{2}}{2} $
$\Rightarrow \sqrt{2}-\sqrt{2} \mathrm{e}^2=\mathrm{e} $
$ \Rightarrow \sqrt{2} \mathrm{e}^2+\mathrm{e}-\sqrt{2}=0 $
$ \Rightarrow \sqrt{2} \mathrm{e}^2+2 \mathrm{e}-\mathrm{e}-\sqrt{2}=0$
$ \Rightarrow \sqrt{2} \mathrm{e}(\mathrm{e}+\sqrt{2})-1(1+\sqrt{2})=0 $
$\Rightarrow(\mathrm{e}+\sqrt{2})(\sqrt{2} \mathrm{e}-1)=0 $
$ \therefore \mathrm{e} \neq-\sqrt{2} $
$\mathrm{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{x^2}{b^2}-\frac{y^2}{a^2 b^2}=1 \quad a=5 \sqrt{2} $
$ b=5$
$ a^2 b^2=b^2\left(e_1^2-1\right) \Rightarrow e_1^2= 51$
