दीर्घवृत्त mathrm{E}: frac{mathrm{x}^2}{mathrm{a}^2}+frac{mathrm{y}^2}{mathrm{~b

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

दीर्घवृत्त $\mathrm{E}: \frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ की नियता $\mathrm{x}=8$ है तथा संगत नाभि $(2,0)$ है। यदि प्रथम चतुर्थांश में $\mathrm{E}$ के बिन्दु $\mathrm{P}$ पर स्पर्श रेखा, बिन्दु $(0,4 \sqrt{3})$ से होकर जाती है तथा $\mathrm{x}$-अक्ष को $\mathrm{Q}$ पर काटती है, तो $(3 \mathrm{PQ})^2$ बराबर है _______________

A

$38$

B

$39$

C

$35$

D

$36$

(JEE MAIN-2023)

Solution

$\frac{ a }{ e }=8 \ldots \ldots \ldots(1) \quad ae =2$

$8 e =\frac{2}{ e }$

$e ^2=\frac{1}{4} \Rightarrow e =\frac{1}{2}$

$a =4$

$b ^2= a ^2\left(1- e ^2\right)$

$=16\left(\frac{3}{4}\right) \quad=12$

$\frac{ x \cos \theta}{4}+\frac{ y \sin \theta}{2 \sqrt{3}}=1$

$\sin \theta=\frac{1}{2}$

$\theta=30^{\circ}$

$P (2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$

$Q \left(\frac{8}{\sqrt{3}}, 0\right)$

$(3 PQ )^2=39$

Standard 11

Mathematics

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