माना दीर्घवृत्त frac{ x ^2}{2}+frac{ y ^2}{4}=1 के बिंदु?

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

माना दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{2}+\frac{ y ^2}{4}=1$ के बिंदुओं $P$ तथा $Q$ पर स्पर्श रेखाएँ बिंदु $R (\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}-2)$ पर मिलती हैं। यदि दार्घवृत्त के ॠणात्मक दीर्घ अक्ष पर नाभि $S$ है, तो $SP ^2+ SQ ^2$ बराबर है

A

$13$

B

$14$

C

$12$

D

$15$

(JEE MAIN-2022)

Solution

Ellipse is $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 ; e=\frac{1}{\sqrt{2}} ; S \equiv(0,-\sqrt{2})$

Chord of contact is

$\frac{ x }{\sqrt{2}}+\frac{(2 \sqrt{2}-2) y }{4}=1$

$\frac{ x }{\sqrt{2}}=1-\frac{(\sqrt{2}-1) y }{2} \text { solving with ellipse }$

$y =0, \sqrt{2} \therefore x =\sqrt{2}, 1$

$P \equiv(1, \sqrt{2}) Q \equiv(\sqrt{2}, 0)$

$\therefore( SP )^{2}+( SQ )^{2}=13$

Standard 11

Mathematics

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