माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$ तथा अतिपरवलय $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{\alpha}=\frac{1}{25}$ की नाभियाँ सम्पाती हैं। तो अतिपरवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई है :

माना एक दीर्घवृत्त $\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ की उत्केन्द्रता, अतिपरवलय $2 x^2-2 y^2=1$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रम (reciprocal) है। यदि दीर्घवृत्त, अतिपरवलय को लंबवत काटता है, तो दीर्घवृत्त की नाभिलंब जीवा की लंबाई का वर्ग है__________

निम्नलिखित अतिपरवलयों के शीर्षों और नाभियों के निर्देशांकों, उत्केंद्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$

आयताकार अतिपरवलय की उत्केन्द्रता होगी  

अतिपरवलय (hyperbola)

$\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$

पर विचार कीजिए जिसकी नाभियाँ (foci) $S$ एवं $S _1$ पर हैं, जहाँ $S$ धनात्मक $x$-अक्ष पर स्थित है। माना कि $P$ प्रथम चतुर्थाश (first quadrant) में अतिपरवलय पर एक बिंदु है। माना कि $\angle SPS _1=\alpha$ है, जहाँ $\alpha<\frac{\pi}{2}$ है। बिन्दु $S$ से जाने वाली सरल रेखा, जिसकी ढाल (slope) अतिपरवलय के बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा (tangent) के ढाल के बराबर है, सरल रेखा $S _1 P$ को $P _1$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। माना कि $P$ की सरल रेखा $SP _1$ से दूरी $\delta$ है, एवं $\beta= S _1 P$ है। तब $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$ से कम या बराबर महत्तम पूर्णांक (greatest integer less than or equal to). . . . . . . . . है।

माना अतिपरवलय $\frac{\mathrm{x}^2}{16}-\frac{\mathrm{y}^2}{9}=1$ के उत्केन्द्रता $\mathrm{e}_1$ है तथा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, a>b$ जो अतिपरवलय की नाभियों से होकर जाता है, की उत्केन्द्रता $\mathrm{e}_2$ है। यदि $\mathrm{e}_1 \mathrm{e}_2=1$ है, तो दीर्घवृत्त की $\mathrm{x}$-अक्ष के समांतर तथा $(0,2)$ से होकर जाने वाली जीवा की लम्बाई है: