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माना अतिपरवलय $H : \frac{ x ^2}{ a ^2}-\frac{ y ^2}{ b ^2}=1$, बिंदु $(2 \sqrt{2},-2 \sqrt{2})$ से होकर जाता है। एक परवलय खींचा जाता है जिसकी नाभि, $H$ की धनात्मक भुज वाली नाभि पर है तथा परवलय की नियता $H$ की दूसरी नाभि से होकर जाती है। यदि परवलय की नाभि लंब जीवा की लंबाई, $H$ की नाभि लंब जीवा की लंबाई का $e$ गुना है, जहाँ $e$, $H$ की उत्केन्द्रता है, तो निम्न में से कौन सा बिंदु परवलय पर है ?
$(2 \sqrt{3}, 3 \sqrt{2})$
$(3 \sqrt{3},-6 \sqrt{2})$
$(\sqrt{3},-\sqrt{6})$
$(3 \sqrt{6}, 6 \sqrt{2})$
Solution
$H: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
Foci : S (ae, 0), S' $(- ae , 0)$
Foot of directrix of parabola is $(- ae , 0)$
Focus of parabola is (ae, 0 )
Now, semi latus rectum of parabola $=\left| SS ^{\prime}\right|=2 ae$
Given, $4 a e = e \left(\frac{2 b ^{2}}{ a }\right)$
$b ^{2}=2 a ^{2}$
Given, $(2 \sqrt{2},-2 \sqrt{2})$ lies on $H$
$\frac{1}{ a ^{2}}-\frac{1}{ b ^{2}}=\frac{1}{8}$
From $(1)$ and $(2)$
$a^{2}=4, b^{2}=8$
$\because b^{2}=a^{2}\left(e^{2}-1\right)$
$\therefore e=\sqrt{3}$
Equation of parabola is $y^{2}=8 \sqrt{3} x$
