माना अतिपरवलय $H : \frac{ x ^2}{ a ^2}-\frac{ y ^2}{ b ^2}=1$, बिंदु $(2 \sqrt{2},-2 \sqrt{2})$ से होकर जाता है। एक परवलय खींचा जाता है जिसकी नाभि, $H$ की धनात्मक भुज वाली नाभि पर है तथा परवलय की नियता $H$ की दूसरी नाभि से होकर जाती है। यदि परवलय की नाभि लंब जीवा की लंबाई, $H$ की नाभि लंब जीवा की लंबाई का $e$ गुना है, जहाँ $e$, $H$ की उत्केन्द्रता है, तो निम्न में से कौन सा बिंदु परवलय पर है ?

सरल रेखा $2 x-y=0$ के समानांतर एक रेखा अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$ पर बिंदु $\left(x_{1}, y_{1}\right)$ पर स्पर्श रेखा है, तो $x_{1}^{2}+5 y_{1}^{2}$ बराबर है

अतिपरवलय $5{x^2} - 4{y^2} + 20x + 8y = 4$ की उत्केन्द्रता है

अतिपरवलय $x ^{2}- y ^{2}=4$ की उन जीवाओं, जो परवलय $y ^{2}=8 x$ को स्पर्श करती है, के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ है।

माना $a$ तथा $b$ धनात्मक वास्तविक संख्यायें इस प्रकार है कि $a >1$ तथा $b < a$ है। माना एक बिन्दु $P$ प्रथम चतुर्थाश में अतिपरवलय पर स्थित है। माना अतिपरवलय के बिन्दु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बिन्दु $(1,0)$ से गुजरती है तथा अतिपरवलय के बिन्दु $P$ पर खींचा गया अभिलम्ब निर्देशी अक्षों पर समान अन्त: खण्ड कास्ता है। माना बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा, बिन्दु $P$ पर अभिलम्ब तथा $x$-अक्ष द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल को $\Delta$ से दर्शाते है। यदि अतिपरवलय की उत्केन्द्रता को $e$ से दर्शाते है, तो निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सत्य होगा/होंगे ?

$(A)$ $1 < e < \sqrt{2}$

$(B)$ $\sqrt{2} < e < 2$

$(C)$ $\Delta=a^4$

$(D)$ $\Delta=b^4$

यदि रेखा $L _1$ अतिपरवलय $\frac{ x ^2}{16}-\frac{ y ^2}{4}=1$ की स्पर्श रेखा है तथा रेखा $L _2$ मूलबिंदु से गुजरती हो व रेखा $L _1$ के लम्बवत् हो । यदि रेखा $L _1$ तथा $L _2$ के प्रतिच्छेद बिंदु का बिंदुपथ $\left( x ^2+ y ^2\right)^2=\alpha x ^2+\beta y ^2$ हो, तो $\alpha+\beta$ का मान होगा -