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अतिपरवलय $H : x ^2- y ^2=1$ तथा दीर्घवृत $E : \frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{ b ^2}=1, a > b > 0$ के लिए, माना
$(1)$ $E$ की उत्केन्द्रता, $H$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रमणीय हैं, तथा
$(2)$ रेखा $y =\sqrt{\frac{5}{2}} x + K , E$ तथा $H$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।
तब $4\left( a ^2+ b ^2\right)$ बराबर है
$2$
$0$
$1$
$3$
Solution
$e _{ E }=\sqrt{1-\frac{ b ^{2}}{ a ^{2}}}, e _{ H }=\sqrt{2}$
If $\Rightarrow e _{ E }=\frac{1}{ e _{ H }}$
$\Rightarrow \frac{ a ^{2}- b ^{2}}{ a ^{2}}=\frac{1}{2}$
$2 a ^{2-2 b } 2= a ^{2}$
$a ^{2}=2 b ^{2}$
and $y =\sqrt{\frac{5}{2}} x + k$ is tangent to ellipse then
$K ^{2}= a ^{2} \times \frac{5}{2}+ b ^{2}=\frac{3}{2}$
$\therefore b ^{2}=\frac{3}{2} \Rightarrow b ^{2}=\frac{1}{4}$ and $a ^{2}=\frac{1}{2}$
$\left.\therefore a ^{2}+ b ^{2}\right)=3$
