अतिपरवलय $H : x ^2- y ^2=1$ तथा दीर्घवृत $E : \frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{ b ^2}=1, a > b > 0$ के लिए, माना

$(1)$ $E$ की उत्केन्द्रता, $H$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रमणीय हैं, तथा

$(2)$ रेखा $y =\sqrt{\frac{5}{2}} x + K , E$ तथा $H$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

तब $4\left( a ^2+ b ^2\right)$ बराबर है

अतिपरवलय $3{x^2} - 2{y^2} + 4x - 6y = 0$ की जीवाओं जो कि $y = 2x$ के समान्तर हैं, के मध्य बिन्दुओं का बिन्दुपथ है

आयताकार अतिपरवलय की उत्केन्द्रता होगी  

माना अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{b^2}=1$ का नाभिलम्ब, अतिपरवलय के केन्द्र प़र $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाता है। यदि $\mathrm{b}^2$ बराबर $\frac{\ell}{\mathrm{m}}(1+\sqrt{\mathrm{n}})$ है, जहाँ $\ell$ तथा $\mathrm{m}$ असहभाज्य संख्याएँ हैं, तो $\ell^2+m^2+n^2$ बराबर है.............

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ के नियामक वृत्त का समीकरण है

यदि  एक वृत्त एक आयताकार अतिपरवलय $xy = {c^2}$ को क्रमश: बिन्दुओं  $A, B, C$  तथा $D$ पर काटे तथा उनके प्राचल (parameter) क्रमश: ${t_1},\;{t_2},\;{t_3}$ तथा ${t_4}$ हों तो