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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola
hard
माना रेखा $y = mx$ तथा दीर्घवृत $2 x ^{2}+ y ^{2}=1$, प्रथम चतुर्थांश में स्थित एक बिंदु $P$ पर काटते हैं। यदि इस दीर्घवृत्त का $P$ पर अभिलंब, निर्देशांक अक्षों को क्रमशः $\left(-\frac{1}{3 \sqrt{2}}, 0\right)$ तथा $(0, \beta)$ पर मिलता है, तो $\beta$ का मान है
A
$\frac{2}{\sqrt{3}}$
B
$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
C
$\frac{2 }{3}$
D
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
(JEE MAIN-2020)
Solution
Any normal to the ellipse is
$\frac{\mathrm{x} \sec \theta}{\sqrt{2}}-\mathrm{y} \cos \mathrm{ec} \theta=-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{\left(\frac{-\cos \theta}{\sqrt{2}}\right)}+\frac{\mathrm{y}}{\left(\frac{\sin \theta}{2}\right)}=1$
$\Rightarrow \frac{\cos \theta}{\sqrt{2}}=\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ and $\frac{\sin \theta}{2}=\beta$
$\Rightarrow \beta=\frac{\sqrt{2}}{3}$
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