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माना दीर्धवृत्त $\frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{4}=1, a > 2$, के अन्तर्गत, अधिकतम क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का एक शीर्ष, दीर्घवत्त के दीर्घअक्ष के एक सिरे पर है तथा एक भुजा $y$-अक्ष के समान्तर है। यदि त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल $6 \sqrt{3}$ है तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता होगी :
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{3}}{4}$
Solution
$A=\frac{1}{2} a(1-\cos \theta)(4 \sin \theta)$
$A =2 a (1-\cos \theta) \sin \theta$
$\frac{ dA }{ d \theta}=2 a \left(\sin ^{2} \theta+\cos \theta-\cos ^{2} \theta\right)$
$\frac{ dA }{ d \theta}=0 \Rightarrow 1+\cos \theta-2 \cos ^{2} \theta=0$
$\cos \theta=1 \text { (Reject })$
OR
$\cos \theta=\frac{-1}{2} \Rightarrow \theta=\frac{2 \pi}{3}$
$\frac{ d ^{2} A }{ d \theta^{2}}=2 a \left(2 \sin ^{2} \theta-\sin \theta\right)$
$\frac{ d ^{2} A }{ d \theta^{2}}<0 \text { for } \theta=\frac{2 \pi}{3}$
Now, $A _{\max }=\frac{3 \sqrt{3}}{2} a =6 \sqrt{3}$
$a=4$
Now, $e =\sqrt{\frac{ a ^{2}- b ^{2}}{ a ^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
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दीर्घवृत्त (ellipse)
$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$
पर विचार कीजिए। माना कि $H (\alpha, 0), 0<\alpha<2$, एक बिंदु (point) है। बिंदु $H$ से होती हुई एवं $y$-अक्ष के समांतर (parallel to the $y$-axis) एक सरल रेखा (straight line) दीर्घवृत्त एवं इसके सहवृत्त (auxiliary circle) को प्रथम चतुर्थांश (first quadrant) में क्रमशः बिंदुओं $E$ एवं $F$ पर प्रतिच्छेदित (intersect) करती है। बिंदु $E$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा (tangent) धनात्मक $x$-अक्ष को एक बिंदु $G$ पर प्रतिच्छेदित करती है। मान लिजिए कि $F$ एवं मूलबिंदु (origin) को जोड़ने वाली सरल रेखा, धनात्मक $x$-अक्ष के साथ एक कोण (angle) $\phi$ बनाती है।
| $List-I$ | $List-II$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{4}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($P$) $\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{3}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($Q$) $1$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{6}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($R$) $\frac{3}{4}$ |
| यदि $\phi=\frac{\pi}{12}$ है, तब त्रिभुज $F G H$ का क्षेत्रफल | ($S$) $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ |
| ($T$) $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ |
सही विकल्प हैं :
