माना रैखिक समीकरण निकाय  $x+y+k z=2$ ; $2 x+3 y-z=1$ ; $3 x+4 y+2 z=k$ के अनंत हल है, तो निकाय  $( k +1) x +(2 k -1) y =7$ ; $(2 k +1) x +( k +5) y =10$ 

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\beta - \alpha )}&{\cos (\gamma - \alpha )}\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos (\gamma - \beta )}\\{\cos (\alpha - \gamma )}&{\cos (\beta - \gamma )}&1\end{array}} \right|$ का मान होगा

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{ - {a^2}}&{ab}&{ac}\\{ab}&{ - {b^2}}&{bc}\\{ac}&{bc}&{ - {c^2}}\end{array}\,} \right| = K{a^2}{b^2}{c^2},$ तो $K = $

यदि $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}$. तब सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\1&{ - 1 - {\omega ^2}}&{{\omega ^2}}\\1&{{\omega ^2}}&{{\omega ^4}}\end{array}\,} \right|$

यदि  किसी समान्तर श्रेणी के $p$ वें, $q$ वें तथा $r$ वें पद क्रमश: $a,b,c$ हों, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&p&1\\b&q&1\\c&r&1\end{array}\,} \right| = $

यदि रैखिक समीकरण निकाय $ x-2 y+z=-4 $; $ 2 x+\alpha y+3 z=5 $; $ 3 x-y+\beta z=3$ के अनंत हल हैं, तो $12 \alpha+13 \beta$ बराबर है