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समाक्ष (coaxial) वृत्त निकाय ${x^2} + {y^2} - 6x - 6y + 4 = 0$, ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0$ का एक सीमान्त बिन्दु है
$( - 1,\,1)$
$( - 1,\,2)$
$( - 2,\,1)$
$( - 2,\,2)$
Solution
(a) ट्रिक : मूलाक्ष का समीकरण ${S_1} – {S_2} = 0$ अर्थात् $4x + 2y – 1 = 0$ है।
समाक्ष वृत्त निकाय
$({x^2} + {y^2} – 6x – 6y + 4) + \lambda (4x + 2y – 1) = 0$
या ${x^2} + {y^2} – (6 – 4\lambda )x – (6 – 2\lambda )y + (4 – \lambda ) = 0$….(i)
द्वारा दिया जा सकता है जिसका केन्द्र $C(3 – 2\lambda ,\;3 – \lambda )$
तथा त्रिज्या $r = \sqrt {{{(3 – 2\lambda )}^2} + {{(3 – \lambda )}^2} – (4 – \lambda )} $
यदि $r = 0$ तो $\lambda = 2$ या $7/5$
$C$ के निर्देशांक रखने पर सीमान्त बिन्दु $(-1, 1)$ व $\left( {\frac{1}{5},\;\frac{8}{5}} \right)$ हैं।
इनमें से एक बिन्दु विकल्प $(a)$ में दिया गया है।
