એક આવર્તકાળ $T$ જેટલા સમયમાં સરેરાશ વિકિરણ ફલક્સ ઘનતાનું મૂલ્ય $S = \frac{1}{{2c{\mu _0}}}E_0^2$ થી આપવામાં આવે છે તેમ બતાવો.
એક આવર્તકાળ $T$ જેટલા સમયમાં સરેરાશ વિકિરણ ફલક્સ ઘનતાનું મૂલ્ય $S = \frac{1}{{2c{\mu _0}}}E_0^2$ થી આપવામાં આવે છે તેમ બતાવો.
વિકિરણ ફલક્સ ધનતા
$S =\frac{1}{\mu_{0}}(\overrightarrow{ E } \times \overrightarrow{ B })$
$\therefore S =c^{2} \in_{0}(\overrightarrow{ E } \times \overrightarrow{ B })\dots(1)$
$[\because c\left.=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \in_{0}}}\right]$
ધારો કે, વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો $x$-અક્ષની દિશામાં પ્રસરે છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $y$-દિશામાં અને ચુંબકીયક્ષેત સદિશ $z$-દિશામાં હશે તેથી,
$\overrightarrow{ E }=\overrightarrow{ E _{0}} \cos (k x-\omega t)$
$\overrightarrow{ B }=\overrightarrow{ B _{0}} \cos (k x-\omega t)$
$\overrightarrow{ E } \times \overrightarrow{ B }=\left(\overrightarrow{ E }_{0} \times \overrightarrow{ B _{0}}\right) \cos ^{2}(k x-\omega t)$
$S =c^{2} \in_{0}(\overrightarrow{ E } \times \overrightarrow{ B }) \quad[\because$ સમીકરણ $(1)$ પરથી,$]$
$c^{2} \in_{0}\left(\overrightarrow{ E }_{0} \times \overrightarrow{ B _{0}}\right) \cos ^{2}(k x-\omega t)$
એક પૂર્ણ ચક્ર પરનું વિકિરણ ફલક્સ ધનતાનું સરેરાશ મૂલ્ય,
$S_{avg}=c^{2} \in_{0}\left|\overrightarrow{ E }_{0} \times \overrightarrow{ B }_{0}\right| \frac{1}{ T } \int_{0}^{ T } \cos ^{2}(k x-\omega t) d t$
$=c^{2} \in_{0} E _{0} B _{0} \times \frac{1}{ T } \times \frac{ T }{2} \quad\left[\because\left|\overrightarrow{ E }_{0} \times \overrightarrow{ B }_{0}\right|= E _{0} B _{0} \sin 90^{\circ}= E _{0} B _{0}\right]$
અને $\int_{0}^{ T } \cos ^{2}(k x-\omega t) d t=\frac{ T }{2}$
$S_{avg}=\frac{c^{2}}{2} \cdot \epsilon_{0} E _{0}\left(\frac{ E _{0}}{c}\right) \quad\left[\because c=\frac{ E _{0}}{ B _{0}} \Rightarrow B _{0}=\frac{ E _{0}^{2}}{c}\right]$
$=\frac{c}{2} \epsilon_{0} E _{0}^{2}$
$=\frac{c}{2} \times \frac{1}{c^{2} \mu_{0}} \times E _{0}^{2} \quad\left[\because c=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \epsilon_{0}}} \Rightarrow \epsilon_{0}=\frac{1}{c^{2} \mu_{0}}\right]$
$=\frac{ E _{0}^{2}}{2 \mu_{0} c}$
Similar Questions
માધ્યમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો, તે માધ્યમની સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $({ \in _r})$ અને સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $(\mu _r)$ વડે નક્કી થતા હોય છે, જેમ કે તેનો વક્રીભવનાંક, સૂત્ર $n = \sqrt {{ \in _r}{\mu _r}} $ વડે મળે છે. સામાન્યતઃ મોટાભાગના પ્રકાશીય માધ્યમો માટે , ${ \in _r} > 0$ અને $\mu _r> 0$ અને તેથી ${ \in _r}{\mu _r}$ નું વર્ગમૂળ લેતી વખતે મળતાં ધન અને ઋણ મૂલ્યો પૈકી ધન મૂલ્ય લેતાં $n > 0$ મળે છે. પરંતુ $1964$ માં V. Veselago નામના રશિયન વૈજ્ઞાનિકે $\in _r < 0$ તથા $u_r < 0$ ધરાવતા દ્રવ્યોના અસ્તિત્વ વિશે આગાહી કરી હતી. ત્યારબાદ “metamaterials” તરીકે ઓળખાતા આવા દ્રવ્યોનું ઉત્પાદન પ્રયોગશાળામાં કરીને તેમના પ્રકાશીય ગુણધર્મોનો પ્રાયોગિક અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે. આવા દ્રવ્યો માટે $n = - \sqrt {{ \in _r}{\mu _r}} $ અત્રે આવા માધ્યમમાં પ્રકાશનું કિરણ દાખલ થાય છે ત્યારે તેમાંના પ્રકાશ સદિશોનું પ્રસરણ, મૂળ દિશાથી દૂરની તરફ થતું હોય છે.
ઉપરોક્ત વર્ણન પરથી સાબિત કરો કે,
$(i)$ આવા માધ્યમની સપાટી પર પ્રકાશનું કિરણ, (આપાત બિંદુમાંથી પસાર થતા આપાત સમતલમાં વિચારેલા ચાર ચરણ પૈકી) બીજા ચરણમાં રહીને $\theta $ ખૂણે આપાત થાય તો વક્રીભૂત કિરણ ત્રીજા ચરણમાં મળશે અને
$(ii)$ આ કિસ્સામાં પણ સ્નેલના નિયમનું પાલન તો થાય છે જ.
માધ્યમના પ્રકાશીય ગુણધર્મો, તે માધ્યમની સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $({ \in _r})$ અને સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી $(\mu _r)$ વડે નક્કી થતા હોય છે, જેમ કે તેનો વક્રીભવનાંક, સૂત્ર $n = \sqrt {{ \in _r}{\mu _r}} $ વડે મળે છે. સામાન્યતઃ મોટાભાગના પ્રકાશીય માધ્યમો માટે , ${ \in _r} > 0$ અને $\mu _r> 0$ અને તેથી ${ \in _r}{\mu _r}$ નું વર્ગમૂળ લેતી વખતે મળતાં ધન અને ઋણ મૂલ્યો પૈકી ધન મૂલ્ય લેતાં $n > 0$ મળે છે. પરંતુ $1964$ માં V. Veselago નામના રશિયન વૈજ્ઞાનિકે $\in _r < 0$ તથા $u_r < 0$ ધરાવતા દ્રવ્યોના અસ્તિત્વ વિશે આગાહી કરી હતી. ત્યારબાદ “metamaterials” તરીકે ઓળખાતા આવા દ્રવ્યોનું ઉત્પાદન પ્રયોગશાળામાં કરીને તેમના પ્રકાશીય ગુણધર્મોનો પ્રાયોગિક અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે. આવા દ્રવ્યો માટે $n = - \sqrt {{ \in _r}{\mu _r}} $ અત્રે આવા માધ્યમમાં પ્રકાશનું કિરણ દાખલ થાય છે ત્યારે તેમાંના પ્રકાશ સદિશોનું પ્રસરણ, મૂળ દિશાથી દૂરની તરફ થતું હોય છે.
ઉપરોક્ત વર્ણન પરથી સાબિત કરો કે,
$(i)$ આવા માધ્યમની સપાટી પર પ્રકાશનું કિરણ, (આપાત બિંદુમાંથી પસાર થતા આપાત સમતલમાં વિચારેલા ચાર ચરણ પૈકી) બીજા ચરણમાં રહીને $\theta $ ખૂણે આપાત થાય તો વક્રીભૂત કિરણ ત્રીજા ચરણમાં મળશે અને
$(ii)$ આ કિસ્સામાં પણ સ્નેલના નિયમનું પાલન તો થાય છે જ.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીયક્ષેત્ર ....... હોય છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીયક્ષેત્ર ....... હોય છે.
એક વિદ્યુત બલલ્બનું રેટીંગ $200\, W$ છે. આ બલ્બ માથી નીકળતા વિકિરણને કારણે $4\, m$ અંતરે કેટલું મહત્તમ યુંબકીય ક્ષેત્ર ($\times 10^{-8}\, T$ માં) હશે $?$ આ બલ્બને બિંદુવત્ત ધારો અને તેની કાર્યક્ષમતા $3.5%$ છે.
એક વિદ્યુત બલલ્બનું રેટીંગ $200\, W$ છે. આ બલ્બ માથી નીકળતા વિકિરણને કારણે $4\, m$ અંતરે કેટલું મહત્તમ યુંબકીય ક્ષેત્ર ($\times 10^{-8}\, T$ માં) હશે $?$ આ બલ્બને બિંદુવત્ત ધારો અને તેની કાર્યક્ષમતા $3.5%$ છે.
- [JEE MAIN 2022]
$\mu_0$ મુક્ત અવકાશ પરમીએબીલીટી અને $\varepsilon_0$ પરમિટિવિટીમાં રહેલ સમતલીય વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ચુંબકીયક્ષેત્ર અને વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય? (આપેલ : $c-$ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ)
$\mu_0$ મુક્ત અવકાશ પરમીએબીલીટી અને $\varepsilon_0$ પરમિટિવિટીમાં રહેલ સમતલીય વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ચુંબકીયક્ષેત્ર અને વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય? (આપેલ : $c-$ મુક્ત અવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ)
- [NEET 2022]
$y-$અક્ષ પર પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $6.0 \times 10^{-7}\,T$ છે. વિદ્યુત ચુંબકીય તરંગ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય ....... છે.
$y-$અક્ષ પર પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $6.0 \times 10^{-7}\,T$ છે. વિદ્યુત ચુંબકીય તરંગ વિદ્યુતક્ષેત્રનું મહત્તમ મૂલ્ય ....... છે.
- [JEE MAIN 2023]