$8(x+a)^{n}$ के द्विपद प्रसार के दूसरे, तीसरे और चौथे पद क्रमश: $240,720$ और $1080$ हैं। $x, a$ तथा $n$ ज्ञात कीजिए।
Given that second term $T_{2}=240$
We have ${T_2} = {\,^n}{C_1}{x^{n - 1}} \cdot a$
So ${\,^n}{C_1}{x^{n - 1}} \cdot a = 240$ ..........$(1)$
Similarly ${\,^n}{C_2}{x^{n - 2}}{a^2} = 720$ ...........$(2)$
and $^{n} C_{x} x^{n-3} a^{3}=1080$ .............$(3)$
Dividing $(2)$ by $(1),$ we get
$\frac{{{\,^n}{C_2}{x^{n - 2}}{a^2}}}{{^n{C_1}{x^{n - 1}}a}} = \frac{{720}}{{240}}$ i.e., $\frac{(n-1) !}{(n-2) !} \cdot \frac{a}{x}=6$
or $\frac{a}{x}=\frac{6}{(n-1)}$ ...........$(4)$
Dividing $(3)$ by $(2),$ we have
$\frac{a}{x}=\frac{9}{2(n-2)}$ ...........$(5)$
From $(4)$ and $(5),$
$\frac{6}{n-1}=\frac{9}{2(n-2)}$ Thus, $n=5$
Hence, from $(1), 5 x^{4} a=240,$ and from $(4), \frac{a}{x}=\frac{3}{2}$
Solving these equations for $a$ and $x,$ we get $x=2$ and $a=3$
$k$ के धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या, ताकि $\left(2 x ^3+\frac{3}{ x ^{ k }}\right)^{12}, x \neq 0$ द्विपद प्रसार में अचर पद $2^8 . \ell$ हो जहाँ $\ell$ एक विषम पूर्णांक है, होगी -
माना $\left(\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2 x^{\frac{2}{3}}}\right)^{18}$ के प्रसार में सातवें तथा तेरहवें पदों के गुणांक क्रमशः $m$ तथा $n$ है। तो $\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{3}}$ बराबर है :
यदि ${\left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right)^n}$ के विस्तार में मध्य पद $924{x^6}$ हो, तो $n = $
${\left( {2x - \frac{3}{x}} \right)^6}$ के प्रसार में $x$ से स्वतंत्र पद होगा
यदि ${(1 + x)^{15}}$ के प्रसार में $(2r + 3)$ वें तथा ${(r - 1)^{th}}$ वें पदों के गुणांक बराबर हैं, तो $r$ का मान है