यदि {(1 + x)^n} के विस्तार में पाँचवें, छठव?

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7.Binomial Theorem

medium

यदि ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में पाँचवें, छठवें तथा सांतवें पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी में हों, तो $n =$

A

$7$ केवल

B

$14$ केवल

C

$7$ या $14$

D

इनमें से कोई नहीं

Solution

${T_5}$ का गुणांक$ = {\,^n}{C_4},{T_6} = {\,^n}{C_5}$ व ${T_7} = {\,^n}{C_6}$

प्रतिबंध के अनुसार $2\,{\,^n}{C_5} = {\,^n}{C_4} + {\,^n}{C_6}$

$ \Rightarrow \,\,2\left[ {\frac{{n!}}{{(n – 5)!5!}}} \right] = \left[ {\frac{{n!}}{{(n – 4)\,!\,4\,!}} + \frac{{n!}}{{(n – 6)\,!\,6\,!}}} \right]$

$ \Rightarrow \,\,2\left[ {\frac{1}{{(n – 5)\,5}}} \right] = \left[ {\frac{1}{{(n – 4)(n – 5)}} + \frac{1}{{6 \times 5}}} \right]$

सरल करने पर $n=7$ या $14$.

Standard 11

Mathematics

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$(D)$ किन्हीं दिये गए $a, b \in Z$ के लिए, $\cos (\pi(a+b \sqrt{2}))+i \sin (\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि (if and only if) $b=0$, जहां $i=\sqrt{-1}$ है।

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