સાબિત કરો કે ગણ $\{1,2,3\} $ માં $(1,2)$ અને $(2,1)$ ને સમાવતા સામ્ય સંબંધની સંખ્યા બે છે.
સાબિત કરો કે ગણ $\{1,2,3\} $ માં $(1,2)$ અને $(2,1)$ ને સમાવતા સામ્ય સંબંધની સંખ્યા બે છે.
The smallest equivalence relation $R_{1}$ containing $(1,2)$ and $(2,1)$ is $\{(1,1)$ $(2,2)$, $(3,3)$, $(1,2)$, $(2,1)\}$. Now we are left with only $4$ pairs namely $(2,3)$, $(3,2)$ $,(1,3)$ and $(3,1) $. If we add any one, say $(2,3)$ to $R_{1},$ then for symmetry we must add $(3,2)$ also and now for transitivity we are forced to add $( 1,3 )$ and $( 3,1)$. Thus, the only equivalence relation bigger than $R_{1}$ is the universal relation. This shows that the total number of equivalence relations containing $(1,2) $ and $(2,1) $ is two.
Similar Questions
જે સ્વવાચક અને પરંપરિત હોય પરંતુ સંમિત ના હોય તેવા એક સંબંધનું ઉદાહરણ આપો
જે સ્વવાચક અને પરંપરિત હોય પરંતુ સંમિત ના હોય તેવા એક સંબંધનું ઉદાહરણ આપો
ધારોકે $R =\{( P , Q ) \mid P$ અને $Q$ ઊગમબિંદુથી સમાન અંતરે આવેલ છે $\}$. એ એક સંબંધ છે, તો $(1,- 1)$ નો સામ્ય વર્ગ એ ........... ગણ છે.
ધારોકે $R =\{( P , Q ) \mid P$ અને $Q$ ઊગમબિંદુથી સમાન અંતરે આવેલ છે $\}$. એ એક સંબંધ છે, તો $(1,- 1)$ નો સામ્ય વર્ગ એ ........... ગણ છે.
- [JEE MAIN 2021]
સાબિત કરો કે ગણ $A=\{1,2,3,4,5\}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R =\{(a, b):|a-b|$ યુગ્મ છે $\} $ સામ્ય સંબંધ છે. સાબિત કરો કે $\{1,3,5\}$ ના બધા જ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધ $R$ ધરાવે છે અને $ \{2,4\}$ ના બધા જ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધ $R$ ધરાવે છે. પરંતુ $\{1,3,5\}$ નો એક પણ ઘટક $ \{2,4\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધ $R$ ધરાવતો નથી.
સાબિત કરો કે ગણ $A=\{1,2,3,4,5\}$ પર વ્યાખ્યાયિત સંબંધ $R =\{(a, b):|a-b|$ યુગ્મ છે $\} $ સામ્ય સંબંધ છે. સાબિત કરો કે $\{1,3,5\}$ ના બધા જ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધ $R$ ધરાવે છે અને $ \{2,4\}$ ના બધા જ ઘટકો એકબીજા સાથે સંબંધ $R$ ધરાવે છે. પરંતુ $\{1,3,5\}$ નો એક પણ ઘટક $ \{2,4\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે સંબંધ $R$ ધરાવતો નથી.
સંબંધ $R$ એ ગણ $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ પર $R =\{(a, b):$ $a$ અને $b$ બંને અયુગ્મ અથવા બંને યુગ્મ $\} $ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે. એ સાથે જ સાબિત કરો કે $ \{1,3,5,7\}$ ના બધા જ ઘટકો $R$ દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે અને $\{2,4,6\}$ ના બધા જ ઘટકો $R$ દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે, પરંતુ $\{1,3,5,7\}$ નો કોઈ પણ ઘટક ઉપગણ $\{2,4,6\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે $R$ દ્વારા સંબંધિત નથી.
સંબંધ $R$ એ ગણ $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ પર $R =\{(a, b):$ $a$ અને $b$ બંને અયુગ્મ અથવા બંને યુગ્મ $\} $ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $R$ એ સામ્ય સંબંધ છે. એ સાથે જ સાબિત કરો કે $ \{1,3,5,7\}$ ના બધા જ ઘટકો $R$ દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે અને $\{2,4,6\}$ ના બધા જ ઘટકો $R$ દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે, પરંતુ $\{1,3,5,7\}$ નો કોઈ પણ ઘટક ઉપગણ $\{2,4,6\}$ ના કોઈ પણ ઘટક સાથે $R$ દ્વારા સંબંધિત નથી.
ધારોકે $A=\{0,3,4,6,7,8,9,10\}$ અને $R$ એ $A$ પર વ્યાખ્યાયિત એવો સંબંધ છે કે જેથી $R=\{(x, y) \in A \times A: x-y$ એ એકી ધન પૂણાંક છે અથવા $x-y=2\}$. સંબંધ $R$ સંમિત સંબંધ બને તે માટે તેમાં ઉમેરાતા ન્યૂનતમ ધટકોની સંખ્યા $........$ છે.
ધારોકે $A=\{0,3,4,6,7,8,9,10\}$ અને $R$ એ $A$ પર વ્યાખ્યાયિત એવો સંબંધ છે કે જેથી $R=\{(x, y) \in A \times A: x-y$ એ એકી ધન પૂણાંક છે અથવા $x-y=2\}$. સંબંધ $R$ સંમિત સંબંધ બને તે માટે તેમાં ઉમેરાતા ન્યૂનતમ ધટકોની સંખ્યા $........$ છે.
- [JEE MAIN 2023]