सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में $R =\left\{(a, b): a \leq b^{2}\right\},$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
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$( i)$ $R = \left\{ {(a,b):a \leqslant {b^2}} \right\}$
It can be observed that $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \notin R,$
since, $\frac{1}{2}>\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
$R$ is not reflexive.
Now, $(1,4)\in R$ as $1<42$ But, $4$ is not less than $1^{2}$.
$\therefore $ $(4,1) \notin R$
$\therefore R$ is not symmetric.
Now,
$(3,2),\,(2,1.5) \in R$ $[$ as $3<2^{2}=4 $ and $2<(1.5)^{2}=2.25]$
But, $3 >(1.5)^{2}=2.25$
$\therefore $ $(3,1.5) \notin R$
$\therefore $ $R$ is not transitive.
Hence, $R$ is neither reflexive, nor symmetric, nor transitive.
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सिद्ध किजिए कि समुच्चय $A =\{x \in Z : 0 \leq x \leq 12\},$ में दिए गए निम्नलिखित संबंधों $R$ में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:
$R =\{(a, b): \mid a-b \mid, 4$ का एक गुणज है $\}$
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संबंध $R $ समुच्चय $\{2, 3, 4, 5\}$ से $ \{3, 6, 7, 10\}$ में; $xRy$ द्वारा परिभाषित है $ \Leftrightarrow x$ सापेक्षिक अभाज्य है, $y $ के, तब $R$ का प्रान्त $(Domain)$ है
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माना $\mathrm{A}=\{1,2,3, \ldots .20\}$ है। माना $\mathrm{A}$ दो संबंध $\mathrm{R}_1$ तथा $\mathrm{R}_2$ $\mathrm{R}_1=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}): \mathrm{b}, \mathrm{a}$ से विभाज्य है $\}$ $\mathrm{R}_2=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}): \mathrm{a}, \mathrm{b}$ का पूर्णांकीय गुणज़ है $\}$ तो $\mathrm{R}_1-\mathrm{R}_2$ में अवयवों की संख्या बराबर है .............
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- [JEE MAIN 2024]
माना $N$ सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। $N$ पर दो द्विआधारी संबंध इस प्रकार परिभाषित कीजिए कि $R _{1}=\{(x, y) \in N \times N : 2 x+y=10\}$ तथा $R _{2}=\{(x, y) \in N \times N : x+2 y=10\}$, तो
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- [JEE MAIN 2018]
निर्थारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :
किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित संबंध $R.$
$R =\{(x, y): x$ तथा $y$ एक ही स्थान पर कार्य करते हैं$\}$
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