सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ में $R =\left\{(a, b): a \leq b^{2}\right\},$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$, न तो स्वतुल्य है, न सममित हैं और न ही संक्रामक है।
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$( i)$ $R = \left\{ {(a,b):a \leqslant {b^2}} \right\}$
It can be observed that $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \notin R,$
since, $\frac{1}{2}>\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$
$R$ is not reflexive.
Now, $(1,4)\in R$ as $1<42$ But, $4$ is not less than $1^{2}$.
$\therefore $ $(4,1) \notin R$
$\therefore R$ is not symmetric.
Now,
$(3,2),\,(2,1.5) \in R$ $[$ as $3<2^{2}=4 $ and $2<(1.5)^{2}=2.25]$
But, $3 >(1.5)^{2}=2.25$
$\therefore $ $(3,1.5) \notin R$
$\therefore $ $R$ is not transitive.
Hence, $R$ is neither reflexive, nor symmetric, nor transitive.
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निर्थारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित संबंधों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं :
समुच्चय $A =\{1,2,3,4,5,6\}$ में $R =\{(x, y): y$ भाज्य है $x$ से$\}$ द्वारा परिभाषित संबंध $R$ है।
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मान लीजिए कि $L$ किसी समतल में स्थित समस्त रेखाओं का एक समुच्चय है तथा $R =\left\{\left( L _{1}, L _{2}\right): L _{1}, L _{2}\right.$ पर लंब है $\}$ समुच्चय $L$ में परिभाषित एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि $R$ सममित है किंतु यह न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
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माना समुच्चय $A = A _1 \cup A _2 \cup \ldots \cup A _k$, है, जहाँ $i \neq j 1 \leq i, j \leq k$ के लिये $A_i \cap A_j=\phi$ है। $R=\left\{(x, y): y \in A_i\right.$ यदि तथा केवल यदि $\left.x \in A_i, 1 \leq i \leq k\right\}$ द्वारा $A$ से $A$ में परिभाषित संबंध $R$ है। तब $R$ है :
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- [JEE MAIN 2022]
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर संबंध $R $ इस प्रकार परिभाषित है कि $\{(a, b) : a$ तथा $b$ में $3$ का अन्तर है $\},$ तब $ R$ होगा
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर संबंध $R $ इस प्रकार परिभाषित है कि $\{(a, b) : a$ तथा $b$ में $3$ का अन्तर है $\},$ तब $ R$ होगा
माना $R = \{(1, 3), (2, 2), (3, 2)\} $ तथा $S = \{(2, 1), (3, 2), (2, 3)\}$ समुच्चय $A = \{1, 2, 3\} $ पर दो संबंध है, $Ro{S^{ - 1}} = $
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