8. Sequences and SeriesMedium

સાબિત કરો કે સમાંતર શ્રેણીમાં $(m + n)$ માં તથા $(m - n)$ માં પદોનો સરવાળો $m$ માં પદ કરતાં બમણો થાય છે.

Solution

Let $a$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively. It is known that the $k^{th}$ term of an $A.P.$ is given by

$a_{k}=a+(k-1) d$

$\therefore a_{m+n}=a+(m+n-1) d$

$a_{m-n}=a+(m-n-1) d$

$a_{m}=a+(m-1) d$

$\therefore a_{m+n}+a_{m-n}=a+(m+n-1) d+a+(m-n-1) d$

$=2 a+(m+n-1+m-n-1) d$

$=2 a+(2 m-2) d$

$=2 a+2(m-1) d$

$=2[a+(m-1) d]$

$=2 a_{m}$

Thus, the sum of $(m+n)^{t h}$ and $(m-n)^{t h}$ terms of an $A.P.$ is equal to twice the $m^{\text {th }}$ term.

$p , q \in R$ માટે, વાસ્તવિક વિધેય $f(x)=(x- p )^{2}- q , x \in R$ અને $q >0$ ધ્યાનેન લો. ધારોકે $a _{1}, a _{2}, a _{3}$ અને $a _{4}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે તથા તેનો મધ્યક $p$ અને સામાન્ય તફાવત ધન છે. જો પ્રત્યેક $i=1,2,3,4$ માટે $\left|f\left( a _{i}\right)\right|=500$, તો $f(x)=0$ નાં બીજો વચ્ચેનો નિરપેક્ષ તફાવત ............ છે.

Advanced

Difficult

Difficult

Easy