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8. Sequences and Series
hard
$\alpha ,\;\beta $ समीकरण ${x^2} - 3x + a = 0$ के मूल हैं और $\gamma ,\;\delta $ समीकरण ${x^2} - 12x + b = 0$ के मूल हैं। यदि $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;\delta $ एक वर्धमान गुणोत्तर श्रेणी बनाते हों, तो $(a,\;b) = $
A
$(3, 12)$
B
$(12, 3)$
C
$(2, 32)$
D
$(4, 16)$
Solution
(c) चूँकि $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;\delta $ एक आरोही गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं,
अतः $\alpha \delta = \beta \gamma $ जहा $\alpha < \beta < \gamma < \delta $
${x^2} – 3x + a = 0$ को हल करने पर, $x = \frac{1}{2}(3 \pm \sqrt {9 – 4a} )$
$\alpha < \beta $ अतः $\alpha = \frac{1}{2}(3 – \sqrt {9 – 4a} ),\;$
$\beta = \frac{1}{2}(3 + \sqrt {9 – 4a} )$
इसी प्रकार ${x^2} – 12x + b = 0$ से,
$\gamma = \frac{1}{2}(12 – \sqrt {144 – 4b} ),\;$
$\delta = \frac{1}{2}(12 + \sqrt {144 – 4b} )$
$\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;\delta $ के मानों को $\alpha \delta = \beta \gamma $ में रखने पर, $(a,\;b) = (2,\;32)$
ट्रिक: विकल्पों द्वारा निरीक्षण से केवल विकल्प $(c)$ प्रतिबन्ध को संतुष्ट करता है।
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