अतिपरवलय frac{x^2}{9}-frac{y^2}{4}=1 , पर सरल रेखा 2 x-y=1 के

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

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अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$, पर सरल रेखा $2 x-y=1$ के समान्तर स्पर्श रेखाये खींची गयी है। इन स्पर्श रेखाओं के अतिपरवलय पर स्पर्श बिन्दु (points of contacts) निम्न है

$(A)$ $\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$(B)$ $\left(-\frac{9}{2 \sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

$(C)$ $(3 \sqrt{3},-2 \sqrt{2})$

$(D)$ $(-3 \sqrt{3}, 2 \sqrt{2})$

$(B,D)$

$(B,C)$

$(A,D)$

$(A,B)$

(IIT-2012)

Solution

Slope of tangents $=2$

Equation of tangents $y=2 x \pm \sqrt{9.4-4}$

$\Rightarrow y=2 x \pm \sqrt{32} $

$\Rightarrow 2 x-y \pm 4 \sqrt{2}=0$

Let point of contact be $\left( x _1, y _1\right)$ then equation $(i)$ will be identical to the equation

$\frac{x x_1}{9}-\frac{y_1}{4}-1=0 $

$\therefore \frac{x_1 / 9}{2}=\frac{y_1 / 4}{1}=\frac{-1}{ \pm 4 \sqrt{2}} $

$\Rightarrow\left(x_1, y_1\right) \equiv\left(-\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right) \text { and }\left(\frac{9}{2 \sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Standard 11

Mathematics

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ की नियता है

easy

अतिपरवलय $\frac{ x ^{2}}{ a ^{2}}-\frac{ y ^{2}}{ b ^{2}}=1$ जिसकी उत्केन्द्रता $\frac{\sqrt{5}}{2}$ है, पर एक बिन्दु $P (-2 \sqrt{6}, \sqrt{3})$ है। यदि इस अतिपरवलय के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब अतिपरवलय के संयुग्मी अक्ष को क्रमशः बिन्दुओं $Q$ तथा $R$ पर काटते है, तो $QR$ बराबर है –

hard

(JEE MAIN-2021)

अतिपरवलय $\frac{{{x^2}}}{9} – \frac{{{y^2}}}{{16}} = 3$ के बिन्दु $(6, 4)$ पर अभिलम्ब का समीकरण होगा

medium

$m$ के किस मान के लिए शांकव $\frac{{{x^2}}}{{16}} – \frac{{{y^2}}}{9} = 1$ का अभिलम्ब$y = mx + \frac{{25\sqrt 3 }}{3}$ है